层间位移约束下高层框架-支撑结构的单步优化法

2018-12-04孙飞飞马志东贾瑞梓

同济大学学报（自然科学版） 2018年11期

孙飞飞，马志东，贾瑞梓

(1.同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092；2.同济大学土木工程学院，上海 200092)

为保证高层建筑结构具有必要的刚度，现行国家标准《高层建筑混凝土结构技术规程》[1]和《高层民用建筑钢结构技术规程》[2]均对高层建筑层间位移角限值做出规定.合理地控制结构侧移以保证结构的安全性和正常使用，也是结构设计达到经济、合理的重要因素[3].

为了解决层间位移约束下高层建筑结构的优化问题，多种基于数学优化算法的结构优化设计方法被提出.Chan等[4-5]将准则法应用于水平侧移约束下钢和混凝土框架结构的优化设计中，通过一系列简化假定，利用虚功原理推导准则法迭代公式，并将该方法用于香港某高层建筑结构的初步设计中，取得良好效果.李志强[6]根据最优化准则Kuhn-Tucker条件推导出型钢混凝土结构框架柱混凝土截面尺寸的迭代公式，将其与层次分析遗传算法相结合，建立了层次分析优化准则遗传算法(OC-GA).白代春[7]采用离散变量分步优化的规划法对钢筋混凝土框架进行优化，并设计了一个平面框架结构优化设计程序，实现结构自动分析及优化.此外，SAP2000有限元分析软件具有钢结构优化设计的辅助功能.实际工程体量大、优化问题复杂，而工程师往往需要手动对结构进行调整，上述各方法尚不能提供一个快捷的调整建议，实用的成熟度还不够，因此本文旨在提出一种单步、高效的优化方法.

本文首先考察高层建筑规则结构的变形机制，根据结构变形规律将层间位移约束下的高层建筑规则结构多约束优化问题等效转化为单约束优化问题.在此基础上，提出基于结构整体转动比虚应变能的单步优化法，拟通过简单的优化过程为工程师提供高效实用的设计建议.

1 高层建筑规则结构的层间位移机制

为了简化高层建筑规则结构层间位移约束下的结构优化方法，首先需要理解层间位移约束下高层建筑规则结构的变形机制.

1.1 算例的结构信息

算例为图1中60层7跨的高层框架-支撑结构.结构划分为240个构件组，每组构件的截面相同，分组方式为：每两层相对称的柱为一组，共120组；每一层的支撑为一组，共60组；每一层的梁为一组，共60组.不考虑竖向荷载作用，风荷载简化为分布荷载施加于楼层.位移约束条件为层间位移角，限值为1/400.

图1 框架支撑结构算例Fig.1 Example of braced-frame structure

1.2 各楼层对目标楼层层间位移角的贡献规律

取整十层楼层为例，由虚功原理计算各楼层对层间位移角的贡献，如下所示：

(1)

式中：θt为目标层的层间位移角(t=10,20,…,60)；θt,j为j层对t层层间位移角的贡献(j=1,2,…,60).

将各楼层对整十层层间位移角的贡献分离开，如图2所示.

由图2可知，除接近顶部的楼层，各楼层对本层层间位移角的贡献最为突出，对上下相邻约10层范围内的贡献也较大并向外递减.这是由楼层的局部变形协调和传力关系所致，这种局部效应类似于弹性力学中的圣维南原理，本文称这段区域为圣维南区域.10层以外，上部贡献值较小且平缓，下部贡献曲线基本一致，理解为由下部楼层刚体转动所致.因此，60层的层间位移角分离曲线中，除上部10层的贡献由受力和变形协调决定外，下部50层的贡献值即为楼层整体转动量.

图2 第j层对第t层层间位移角的贡献Fig.2 Contribution of jth floor to the inter- story drift of tth floor

1.3 某一楼层对各层层间位移角的贡献规律

相似地，可以计算出某一楼层对结构各层层间位移角的贡献.图3为整十层对结构各层层间位移角贡献曲线.由图3可知，各楼层对本层层间位移角的贡献最大，对上下相邻约10层范围内楼层的层间位移角贡献也较大且向外递减.这同样是由于局部变形协调和传力关系所致.上下10层范围以外，该楼层对下部的贡献非常小，对上部的贡献趋于一致.

图3 整十层对层间位移角的贡献Fig.3 Contribution of each 10th floor to inter-story drift

1.4 整体转动对层间位移角的贡献规律

将层间位移角θt分离成由目标楼层刚体转动引起的层间位移角θ1、本层受力层间位移角θ2、由剪力滞后引起的附加层间位移角θ33个部分之和，如下所示：

θt=θ1+θ2+θ3

(2)

图4为结构的层间位移角分离曲线.由图4可见：在结构底部本层受力和局部变形协调的贡献很大，整体转动的贡献不明显；在结构中上部，本层受力和局部变形协调的贡献较小并向上逐渐减小，结构的整体转动在层间位移角中占主要部分.

图4 层间位移角分离曲线Fig.4 Separation curve of inter-story drift

1.5 不同构件对结构顶部转动的贡献规律

将构件对楼层整体转动的贡献分离，可以明确各类构件的效率，确定层间位移约束下结构优化的主动变量.各类构件对楼层整体转动的贡献可以通过在结构顶部加单位弯矩虚荷载计算得到.分别计算柱、梁、支撑对楼层整体转动的贡献，如图5所示.

图5 层间位移角按构件分离曲线Fig.5 Separation curve of inter-story drift by elements

由图5可见，楼层整体转动以柱的贡献为主，梁和支撑的贡献非常小.

1.6 高层建筑规则结构的变形机制

综上分析，在高层建筑规则结构下部，本层的受力位移对层间位移角的贡献最为突出.最大层间位移角往往出现在结构的中上部，在这些部位，层间位移角以结构的整体转动为主.

2 单步优化法的建立

基于第1.6节结构层间位移机制，将层间位移约束下的高层建筑规则结构优化的多约束问题转化为单约束问题，在此基础上利用虚功准则法，建立结构单步优化的基本方法.

2.1 层间位移约束下结构优化问题

典型的层间位移约束下高层建筑规则结构优化问题包括优化目标和约束条件下的数学优化模型，如下所示：

(3)

2.2 基本假定

假定1忽略构件的剪切变形对位移的贡献量.由虚功原理可知，结构位移为各构件对位移的贡献量之和.构件对位移的贡献主要由弯曲和轴向分量组成，计算中忽略构件的剪切贡献分量，如下所示：

(4)

(5)

式中：δi为构件i对位移的贡献；fi、mi分别为构件i在虚荷载下的轴力、弯矩；Fi、Mi分别为构件i在实际荷载下的轴力、弯矩；Ei为构件i的材料弹性模量；Ii为构件i的惯性矩.

假定2内力暂时不变.由式(5)可知，构件的位移贡献量与构件面积、惯性矩成反比.假设构件截面变化前后内力不变，则构件截面改变后，新的位移贡献量与构件面积、惯性矩的变化率成比例，如下所示：

(6)

2.3 虚功准则法

(7)

(8)

优化问题可以转化为与设计变量之间的直接关系，如下所示：

(9)

(10)

根据式(10)，对于主动变量，可得

(11)

式中：分子表示构件k对层间位移角θ的贡献量，也是构件k的虚应变能；分母中LkAk表示构件k的体积；γk表示构件k的比虚应变能.因此，式(11)可以理解为最轻结构中，相应于主动变量的构件中单位体积的虚功即构件的比虚应变能γk相等.

2.4 单步优化法的提出

基于层间位移约束的单步优化法的提出是为了给工程师提供快速实用的优化建议，但假如简单地以结构最大层间位移角作为优化的主要约束进行单步优化，那么仅本层及相邻层构件的尺寸将被加强，得到结构局部过刚的不合理结果.因此，单步优化法的有效约束与比虚应变能的选择将对优化结果的合理性产生重要影响.

2.4.1约束条件的转换

为了避免结构局部过刚的问题，本节提出层间位移约束下结构优化的设计思想：如果结构整体转动的比虚应变能均匀并且最大层间位移角满足约束条件，相应结构对于层间位移约束问题是一个较优解.由第1节可知，将层间位移约束下高层建筑规则结构的优化转化为针对结构整体转动的优化，即通过结构顶部整体转动的减小来满足结构所需的位移角减小量，从而排除局部虚功突出的影响，保证优化结果的合理性.

2.4.2单步优化问题

基于以上分析，优化问题即可转化为可执行的形式，如下所示：

(12)

式中：θrtop为结构顶部的整体转动量; [θrtop]为结构顶部的整体转动量限值.

在将层间位移约束下高层建筑规则结构的优化约束条件进行转换之后，就需要解决[θrtop]的取值问题，以确定结构所需的位移角减小量.

为此，考察结构顶部整体转动所需的减小量θd，其值可由结构最大层间位移角所需的位移角减小量换算而来.具体来说，如图6所示，假设结构的最大层间位移角θmax出现在第n层，第n层所需的位移角减小量为(θmax-[θ])，根据下式换算出结构顶部整体转动所需的位移角减小量：

图6 结构整体转动曲线Fig.6 Rigid body rotation curve of the structure

(13)

式中：θrmax,n为最大层间位移角楼层处结构整体转动量.θd确定，[θrtop]也就相应确定，如下所示：

[θrtop]=θrtop-θd

(14)

由于仅考虑结构的整体转动减小量，故θd也是结构顶部层间位移角的减少量，可得

[θrtop]=θtop-θd

(15)

式中：θtop为初始结构顶层层间位移角.

2.4.3单步优化过程

当优化问题由式(9)转化为式(12)之后，同理通过引入库-塔克法则，优化准则即转换为结构整体转动比虚应变能均匀.通过构件初始比虚应变能γi与目标比虚应变能γg关系，确定与主动变量对应的构件修正系数βi，如下所示：

( 16 )

βi一旦确定，初始结构的构件尺寸需要被加强的程度也就确定，以此实现单步优化，使结构以较高的效率满足层间位移约束条件.具体实现过程如下所示：

(1)确定初始结构，构件尺寸取满足强度要求的最小截面.

(2)在结构顶部加单位弯矩虚荷载.

(3)提取初始结构的层间位移角曲线和整体转动曲线，计算构件比虚应变能γi、结构平均比虚应变能γave.

(4)计算结构顶部转角的目标位移角减小量θd和结构放大系数α(α的推导过程见第3.2节)，确定结构的目标比虚应变能γg.

(6)根据构件修正后面积，在构件库中选择新截面.

(7)重新运行结构分析，检查强度和位移约束.

3 单步优化法的关键算法

3.1 构件修正系数βi的计算方法

构件修正系数βi将结构调整为比虚应变能均匀的目标结构，本节解决利用构件比虚应变能γi和目标比虚应变能γg确定构件修正系数βi的问题，并推导βi的计算公式.

由第2.2节提出的基本假定2，构件i修正后的位移贡献如下所示：

(17)

对于型钢构件，截面惯性矩I与面积A的关系由精确计算公式表示过于复杂.结构设计中同一类构件截面相似，可以采用线性回归的方法确定I与A的简单近似关系，以便简化计算.美国钢结构规范(AISC)提供的型钢截面中，W14系列(W14×22～W14×730)、W24系列(W24×55～W24×492)型钢的惯性矩I与面积A的关系如图7a所示，可见I与A分别成近似线性关系.图7中，1 ft=0.305 8 m.用方程I=ηA进行拟合，W14系列拟合方程为

I=0.390 9A

(18)

W24系列拟合方程为

I=0.845 6A

(19)

a AISC型钢截面

b GB型钢截面图7 AISC型钢与GB型钢截面I与A线性拟合Fig.7 Linear fitting of inertia and area of steel section in AISC and Chinese code

类似地，我国GB/T 11263—1998提供的型钢中，HW系列(HW100×100～HW400×400)型钢的惯性矩I与面积A的关系和拟合直线如图7b所示.HW系列拟合方程为

I=1.094 0A

(20)

HN系列拟合方程为

I=0.379 4A

(21)

基于上述I与A的线性化回归，有

(22)

(23)

修正后构件的比虚应变能

(24)

(25)

对于I与A成线性关系的构件库来说，无论构件位移贡献以轴向分量为主还是弯曲分量为主，修正系数βi的表达式是统一的.实际上，除了规格确定的型钢构件外，对其他自行设计的截面形式，选取构件库时，还可以按照I与A成线性关系的目标确定截面参数，或者对于一组构件，通过回归的方法建立I与A的其他关系，达到减少优化变量、简化计算的目的.

3.2 结构放大系数α的计算方法

结构优化中，相应于主动变量的构件根据整体转动比虚应变能均匀的原则被修正，使得结构的层间位移角满足约束限值.主动变量为初始比虚应变能γi较大、对位移起控制作用的构件，通过加强这些构件以补偿结构刚度的不足.

结构顶层初始层间位移角θtop表达式为

∑γiAiLi+∑γAL=θtop

(26)

相应于主动变量构件的目标比虚应变能为γi，修正后的截面面积为βiAi，按照内力暂时不变假定，设计后结构位移角表达式为

(27)

式(26)减去式(27)，得

(28)

由式(28)可知，α为相应于主动变量构件的比虚应变能、体积和结构所需的位移角减小量θd的函数.通过α控制结构的放大程度，加强主动变量来补偿结构刚度不足.

4 算例分析

4.1 算例

采用单步优化法对图1中结构进行层间位移约束下的优化.楼层整体转动以柱的贡献为主，确定框架柱截面尺寸作为优化设计的主动变量.满足强度和稳定性要求的初始结构最大层间位移角为0.013 1，出现在第25层，故需对该结构进行优化使其满足层间位移约束.

4.2 单步优化法的优化结果

单步优化法的截面结果如表1所示，位移角结果如图8所示，最大层间位移角为0.003 81，出现在第26层，而25层的层间位移角为0.003 80.由优化结果可见，最大层间位移角位置发生变化，与初始最大层间位移角的位置靠近，层间位移角最大的区域均接近位移角限值.楼层整体转动曲线相比初始结构更加趋于平缓，这是“结构整体转动的比虚应变能均匀”的结果.

表1 构件截面优化结果Tab.1 Optimized cross-section of the elements

图8 单步优化法优化结果Fig.8 Results of single-step optimization method

应用实例表明,所提出的方法达到了预定的设计目标，稳定承载力也满足要求，结果合理，方法可行.

4.3 不同优化方法优化结果对比

SAP2000作为强大的结构设计软件，为用户提供了以位移或者周期为目标的钢结构自动优化功能.对于位移优化，SAP2000软件预测哪个构件需要增加尺寸，以控制基于构件内单位体积能量的位移.单位体积能量更多的构件比能量更少的构件需要增加更大的比例尺寸.只要所考虑的强度允许，有些单位体积能量小的构件是可以减小尺寸的[9].在SAP2000软件“设计”菜单中，通过对“钢框架设计”设置风荷载工况下的侧向位移目标.基于上述位移目标，SAP2000软件可以提供对结构的构件截面自动校核与设计.

本文将单步优化法的优化结果与SAP2000软件的优化结果进行对比，结构优化结果的总质量分布如表2所示，结构质量分布如图9所示.结果表明：结构总质量相近，质量分布趋势总体一致，证明了单步优化法的有效性；相比于SAP2000软件的优化结果，采用单步优化法用钢量降低了约10%.

a 单步优化法优化结果b SAP2000软件优化结果

图9 优化结果质量分布Fig.9 Mass distribution of optimized structures表2 优化设计结果质量对比Tab.2 Mass comparison of two optimization methods

单步优化法与SAP2000软件优化后的楼层侧移及层间位移角分布对比如图10所示.虽然2种方法的结果都使层间位移角达到限值要求，2种方法优化过程耗时也没有显著的区别，但是SAP2000软件优化结果对层间位移角限制得更严格，这对结构效率以及经济性来说是不利的.单步优化法优化后，结构的最大层间位移角更接近层间位移角限值.