蒲晓庆 吴静 郭强 蔡建臻

1)(北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京 100191)2)(北京东方计量测试研究所,北京 100086)(2018年8月3日收到;2018年8月27日收到修改稿)

石墨烯材料应用于多种电子器件时不可避免地要与金属电极接触,它们之间的接触电阻直接影响了器件的性能.为了揭示影响金属电极与石墨烯间接触电阻的因素,提出有效地抑制这些影响的措施,本文建立了一种求解接触电阻的物理模型,将载流子的输运分为金属与正下方石墨烯之间、正下方石墨烯与邻近石墨烯之间的两个过程,分别研究各个过程的输运概率;结合金属电极与石墨烯接触对载流子分布的影响分析接触电阻,据此分别探讨了金属电极材料、栅极电压、掺杂浓度、金属与石墨烯原子距离等对接触电阻的影响.为验证理论分析结果的正确性,制作了金与石墨烯接触的实验样品,实验测得的接触电阻与理论分析结果符合.理论分析结果表明,可通过选择与石墨烯功函数接近的金属材料,降低二氧化硅层厚度,增加载流子平均自由程,改进金属材料的表面形态使其更光滑,减小金属与石墨烯耦合长度等方法降低石墨烯与金属电极的接触电阻.

1 引 言

自2004年英国曼彻斯特大学的Novoselov和Geim等使用机械剥离法首次制备出石墨烯材料[1]以来,由于石墨烯在电学、光学、热学、力学等方面具有优良的性能,已在高性能场效应管、传感器、光电器件、量子化器件等得到应用[2−6].例如,在电学计量领域,石墨烯材料由于其高载流子迁移率、量子化电导和量子化霍尔效应,被应用于霍尔电阻的测量,测量精度可达到10−10量级[7−9];在光电领域,石墨烯由于其高光吸收率,被应用于红外探测器、发射器和光电探测器等[10−12].

石墨烯应用于很多电子器件和传感器时,不可避免地要与金属接触. 理想的石墨烯材料具有良好的导电性,电子迁移率可达到2×105cm·V−1·s−1[13],但在狄拉克点附近较小的态密度限制了金属与石墨烯之间载流子的转移,造成接触区域的高接触电阻.控制金属与石墨烯间的接触电阻,使其能不受制造环境和工艺的约束而复现低电阻值,对基于石墨烯的高性能电子器件的研制至关重要.Khomyakov等[14]利用第一性原理分析了石墨烯与金属接触时,载流子的相互作用和转移情况,建立了物理吸附于石墨烯上的金属的费米能级和功函数变化的一般模型,分析了化学吸附的金属对石墨烯带隙和金属功函数的影响.Matsuda等[15,16]根据金属与石墨烯之间相互作用力的大小,将金属与石墨烯的接触分为三类,从原子结构层面分析接触耦合力、缺陷等因素对接触电阻的影响.Chaves等[17]利用传输线方法分析金属与石墨烯的接触电阻,并利用隧穿电子密度进行了接触电阻率的推导.传统的半导体材料与金属接触时,接触区域的载流子平均自由程远大于金属与半导体的耦合长度.石墨烯与金属接触时,载流子平均自由程并不满足这一条件,因而需要对传输线模型进行校准,增加了理论推导的复杂度,同时此种方法难以考虑金属下方半导体材料的薄膜电阻与半导体沟道薄膜电阻的差异.Xia等[18]建立了金属与石墨烯接触的二维物理模型,并提出金属与石墨烯接触时载流子的输运过程分为载流子从金属进入其下方的石墨烯,以及从金属下方石墨烯到门控的石墨烯沟道的两个过程,使得接触电阻的理论分析更加简单.

为了从本质上理解影响金属电极与石墨烯的接触电阻的因素,本文从载流子输运角度分析接触电阻.借鉴文献[18]的思想,将接触区域的载流子输运过程也分为两个过程,并基于朗道公式计算接触电阻.在求解过程中,利用金属与石墨烯的耦合、载流子的自由输运以及石墨烯狄拉克费米子的反射系数可得两个输运过程的输运概率,通过不同材料接触时石墨烯的费米能级变化可计算出石墨烯的量子化导通模式数量,综合上述结果可推出接触电阻的计算公式.另外,本文还利用传输线模型设计了金属电极与石墨烯接触的测试样品,并用四点法测量其接触电阻,将实验数据与理论结果对比分析以验证理论结果的有效性.在此基础上分析了影响金属与石墨烯间接触电阻的因素,并提出降低接触电阻的措施.

2 基于朗道方法的接触电阻推导

考虑金属与石墨烯接触的实际情况,假设载流子的输运过程为如图1所示的两个步骤:

A)载流子从金属电极转移到其正下方的石墨烯;

B)载流子从金属电极正下方的石墨烯转移到邻近的石墨烯.

金属电极与石墨烯接触时,载流子同时存在弹道输运与扩散输运,但以载流子的弹道输运为主[18].利用朗道公式[19]表示金属电极与石墨烯的接触电阻为

其中,h为普朗克常数;e为电子电量;M为金属下方的石墨烯中量子化导通模式的数量MA和邻近的石墨烯中量子化导通模式的数量MB的最小值,M=min{MA,MB};TA,TB分别为过程A,B的载流子的输运概率.(1)式中右侧第一项对应过程A的电阻,第二项对应过程B的电阻,第三项为不考虑载流子反射造成的输运引入的修正电阻.

图1 金属与石墨烯接触的物理模型Fig.1.Physical model of the contact of metal and graphene.

2.1 传输概率TA,TB的分析

根据图1中的坐标系,可将过程A的电压V、电流I的关系表示为

利用指数形式表示如图2所示的过程B中每一点费米能级的变化为

其中,∆EA为金属电极正下方石墨烯的费米能量和狄拉克点的能量差,∆EB为邻近石墨烯的费米能量和狄拉克点的能量差,L为过程B中费米能量变化区域的长度.过程B的输运概率TB可表示为[21]

式中,κmn=kB−kA+mkBx+nkAx(m,n=±1);其中,kAx,kBx分别为金属正下方石墨烯费米波矢kFA、邻近石墨烯费米波矢kFB的纵向分量;费米波矢纵向分量与横向分量的关系为sgn为符号函数,其正、负分别表示石墨烯的p掺杂和n掺杂.

图2 利用指数形式表征过程B中石墨烯的能量变化Fig.2.Energy change of graphene in process B characterized by exponential form.

2.2 石墨烯中量子化导通模式数量MA,MB的分析

石墨烯量子化导通模式数量M可利用石墨烯宽度W、石墨烯费米能级的变化∆E等表示为M=W∆E/(πVF),因此对M的求解可通过求解∆E来实现.参考文献[14]中石墨烯与金属表面势能变化示意图,可做出与图1所示模型对应的金属-石墨烯-二氧化硅-硅的能带变化示意图,如图3所示.图中WM表示金属的功函数,WG表示石墨烯的功函数,WSi表示硅的功函数,∆MG为金属与石墨烯接触表面的势能变化,∆O为二氧化硅中的势能变化,V为施加的漏源电压,Vg为施加的栅极电压,deq为金属与石墨烯费米能级平衡时的距离.

根据图3,WM,WG可分别表示为

式中,∆MG为金属与石墨烯接触造成的表面势能变化,其由载流子在接触区域表面移动造成的势能变化∆t和表面电子、空穴的化学反应造成的化学能变化∆c两部分组成.当金属与石墨烯原子之间的距离超过4 nm,∆c通常可忽略[14].根据整个物理模型呈电中性,有

式中,QM为金属所带电量其中,C1为单位面积的金属与石墨烯之间的电容ε0/d1,d1为金属与石墨烯之间的距离;QG为石墨烯所带电量,为硅所带电量,可利用计算,其中,C2为单位面积的石墨烯与硅之间的电容ε/d2,d2为SiO2层的厚度,ε为SiO2的介电常数.

联立求解(7)—(9)式,∆EA可表示为

其中,VDirac表示实现∆EA=0的栅极电压.

利用与分析∆EA类似的方法,令d1→∞,WM=0,可将∆EB表示为

图3 金属-石墨烯-二氧化硅-硅的能带变化示意图Fig.3.Schematic illustration of band change of metalgraphene-SiO2-Si.

3 接触电阻实测结果与影响因素分析

利用第2节的理论计算了金、银、铜、钛、钯5种常见金属电极与石墨烯接触时的接触电阻.表1列出了5种金属材料的电学参数以及假设TA=0.75,TB=1,栅极电压为0时的接触电阻值.

文献[18]通过实验测得栅极电压为0时,钯金属电极与石墨烯间的接触电阻为(230±20)Ω·µm,表1的理论分析结果为210 Ω·µm,两者较接近.为进一步验证本文所提的接触电阻的分析方法,基于传输线模型制作金属与石墨烯接触样品,并采用四点法测量样品的接触电阻.如图4所示,利用探针在金属电极两端通正向电流并测电压得到正向电阻,通反向电流并测电压得到反向电阻,取它们的平均值为样品的电阻.其中,测试探针由奕叶国际有限公司提供,电流源的型号为KEYSIGHT B2961A,电压测量仪的型号为RIGOL DM3068.

表1 金属的电学参数Table 1.Electrical parameters for different metal electrodes.

图4 金属与石墨烯的接触样品及接触电阻测量方法示意图Fig.4.Test sample of metal-graphene contact and the schematic diagram on the measurement method of contact resistance.

图5 样品总电阻随石墨烯长度的变化Fig.5. Variations of the total resistance with the lengths of the graphene.

实验样品两金属电极之间的石墨烯长度分别为2,4,6,8,10µm,分别在电极两端通入10,20,40,60,80µA的电流,测量两金属电极间的电压值.根据测量数据可得测试样品总电阻变化趋势如图5所示,根据传输线模型原理,石墨烯长度为0时的总电阻为(160±30)Ω.样品的电极宽度为4µm,考虑到所测结果是两个金属电极与石墨烯接触,则接触电阻为(320±60)Ω·µm,这与表2中金与石墨烯的接触电阻的理论计算值相近.

(1)式中金属与石墨烯间接触电阻仅存在量子化导通模式的数量M、过程A的输运概率TA、过程B的输运概率TB,而M又与∆E有关.根据(10)和(11)式可知,金属的功函数、金属与石墨烯的距离、石墨烯与栅极之间的绝缘层厚度、石墨烯掺杂浓度、栅极电压均会对∆E造成影响.显然,石墨烯的掺杂浓度越高,接触电阻越小.图6为不同金属与石墨烯在平衡距离时,接触电阻与栅极电压的关系.图中接触电阻总是关于某一栅极电压左右对称分布,并在该电压处趋于无穷,这是由于此处金属与石墨烯之间无势能差异,即∆E=0.石墨烯的功函数、金属的功函数以及金属与石墨烯接触的化学势能变化的差值决定了曲线对称处栅极电压的大小.由于不同金属与石墨烯接触的化学势能变化差异较小,选择栅极电压在狄拉克点电压附近时,金属功函数与石墨烯功函数差异越小,接触电阻越小.图6中,对称处的接触电阻从小到大对应的金属分别为钛、银、铜、金、钯,这与各金属的功函数和石墨烯功函数(本文取其为4.5 eV)的差异有关.

图7(a)是金属电极为钯,d1=0,d2为100,200,300 nm时,接触电阻与栅极电压的关系.由图7(a)可知,曲线的对称中心均为Vg−VDirac=0,d2越大,接触电阻值越大.图7(b)是金属电极为钯,d2=90 nm,d1为0.1,0.2,0.3 nm时接触电阻与栅极电压的关系曲线,金属与石墨烯距离越大,曲线的对称中心对应的栅极电压越小,接触电阻变化越快.当(Vg−VDirac)的变化范围为0—20 V时,金属与石墨烯距离越大,接触电阻越大.

图6 不同材料金属电极下RC与栅极电压Vg的关系Fig.6.Relationship between RCand gate voltage Vg with different metal electrodes.

图7 接触电阻与栅极电压的关系 (a)改变二氧化硅的厚度d2;(b)改变金属与石墨烯的距离d1Fig.7.Relationship between RCand gate voltage:(a)Variations of the thickness d2of SiO2;(b)variations of the distance d1between metal and graphene.

由(4)式可知,λ和λm影响TA,λ与弛豫时间成正比,λm与金属-石墨烯耦合力成反比,λ/λm越小,TA越大,则接触电阻越小.若只考虑TB对接触电阻的影响,由(6)式可知,载流子在石墨烯中的入射角度、∆E发生改变的长度L等因素均会影响TB.通常入射角度越大,L越短,接触电阻越小.

4 结 论

本文基于朗道公式推导了金属电极与石墨烯的接触电阻,利用传输线模型制作了金属与石墨烯接触的实验样品,通过对比接触电阻的理论计算值和实测值验证了理论推导的正确性.理论分析结果表明,为降低金属与石墨烯的接触电阻,可从以下两方面入手.

1)提高石墨烯量子化导通模式数量:选择功函数与石墨烯接近的金属材料;降低二氧化硅层的厚度,使栅极电压变化范围一定时量子化导通模式数量变化范围更大;增加金属下方石墨烯和沟道石墨烯之间的载流子浓度差.

2)提高载流子传输概率:提高石墨烯材料迁移率,增加载流子平均自由程,改进金属材料的表面形态,减小金属与石墨烯耦合长度.