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(浙江师范大学附属中学,浙江 金华 321004)

在人教版普通高中课程标准实验教科书中，介绍了两种求高次方程近似解的方法：二分法和牛顿法.“二分法”之后为何补充“牛顿法”？是进一步强调“近似计算”，抑或“牛顿法”有其不可替代的独特作用？

1 教育价值

通过剖析牛顿法的思维方式及其操作过程，进一步考察其数学本质，可发现牛顿法确实具有重要的教育价值.

1)“近似解”与“精确解”相得益彰，可有效端正学生的数学观.数学的确定性可培养学生的理性和严谨性，但不确定性给予学生更多学习的权利和机会，有益于培养学生的创新能力[1]，这对即将进入高校学习的学生而言，是一种不可忽视的教育.

2)近似计算与智能化紧密结合，拓宽了数学应用的广泛性.在科学与工程上常遇到求方程的解，但方程的精确解或不可利用，或求精确解的成本很高，因此我们常常考虑其满足一定精确度的近似解.计算机的发展为数学的发展提供了巨大的帮助，使得近似计算方法作为一种科学方法发展起来.

3)牛顿法“以直代曲”，是导数应用价值的生动体现.著名建筑设计师高迪曾说：“直线属于人类，而曲线属于上帝.”牛顿法体现了对曲线的巧妙处理.与“二分法”相比，牛顿法具有近似指向鲜明、智能依赖更低的独特作用.该法求方程近似解时只用到一阶导数值，且收敛速度较快，具有易用、适应性广、高效的特点，被广泛推广应用于求方程的近似解，具有很强的可扩展性，是数学应用上的一大法宝，作用无可替代.

牛顿法的核心是以切线的零点近似代替曲线的零点，需借助图像直观体现，才能更好领悟其蕴涵的思想；另一方面，要领会牛顿法需理解其运算思路，掌握运算步骤，提炼算法.此课题充分渗透和发展高中生的两大数学学科核心素养：直观想象和数学运算.

2 基于教材与学情的思考

本节课是人教A版《数学(选修2-2)》第一章第二节“导数的计算”中的“探究与发现”内容，属知识拓展类课程.课前学生已能理解函数的零点与方程的根的关系，会用二分法求方程的近似解，会利用导数求曲线的切线方程.高一学生已学习信息技术，理解计算机程序运行的一些基础原理，会读算法程序框图，选考技术的学生能编写简单的算法程序.教材介绍了导数的概念、计算、几何意义等，为牛顿法提供了理论和实践的基础.本节课除详细介绍牛顿法的基本思想外，还要在对比基础上突出牛顿法的优点.

存在的困难：一是学生对近似解的接受态度，学生已习惯求精确解；二是运算，要理解牛顿法就要体验该法的运算过程，但牛顿法运算繁琐，易望而生畏，若运算全依托计算机解决，学习感受单薄，不容易留下深刻印象.

3 教学目标设置

根据以上分析，制定本节课的教学目标为：

1)借助信息技术手段，运用数形结合思想，详细探究牛顿法的基本内涵及蕴涵的思想方法，提升直观想象核心素养；

2)了解用牛顿法求方程近似解的发生、发展过程，掌握牛顿法公式、运算原理，发展数学运算核心素养；

3)通过对比感悟牛顿法的优缺点，突出牛顿法的重要意义.

教学重点牛顿法的发生、发展过程，理解牛顿法的基本内涵.

教学难点“以直代曲”思想的自然呈现、逼近思想的渗透及精确度公式的解释.

4 教学策略分析

依据前面的分析，采用以下4种方法突破教学重点和难点：

1)回顾二分法求方程x2-2=0的近似解，采用学生熟知但未引起注意的问题激发学习兴趣.设置情境联系由牛一律过渡到牛顿法，之所以要联系牛一律，是因为牛顿法中的“切线”与牛一律有着非常紧密的联系，渗透“以直代曲”思想.

2)几何画板在作图上有着独特的优势，是数形结合的有力工具.通过几何画板呈现，让学生亲历“作切线”的过程和反复“作切线”的原因，深刻领会切线与x轴交点的横坐标逐步逼近函数零点的过程，形成算法.

3)利用Excel表展示不断变化初始值带来的影响，思考精确度的解决办法.

4)通过分析、讲解、对比等过程，加深对牛顿法的理解，感悟优缺点.

5 教学过程

5.1 相似情愫，重温“二分法”

问题1求方程x2-2=0的解.

生2：1.414 2.

师：能多说几位小数吗？

师：通过什么方法可以求方程的近似解？

生3：二分法.

表1 二分法求解过程

由于ε=0.001，因此方程的近似解可取为1.414 062 5.

5.2 以直代曲，探秘“牛顿法”

师：求方程的近似解还有其他方法吗？现假设有一个物体A在刚才研究的函数f(x)图像上运动(切换到几何画板)，当运动到某一点时，物体A的所有外力突然消失了，接下来物体A将做什么运动？

生4：匀速直线运动.

师：物体A的运动轨迹将在一条直线上，这条直线与函数f(x)图像有什么关系？

生5：相切.

设计意图以牛顿第一运动定律为切入点，自然地引出“切线”话题，目的在于实现“以直代曲”.

师：设这条切线与x轴的交点横坐标为x1.

问题3你能求出x1吗？

提示：1)要求出x1，需先写出f(x)在点A处的切线方程；2)要写出切线方程，就要先知点A的横坐标；3)设点A的横坐标为x0.

学生活动1)请学生写出函数f(x)在点A处切线的点斜式方程，并求出x1的值.2)选派学生在黑板上展示解答情况：

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)，

不妨取x0=1，借助计算器，可得x1=1.5.

师：近似效果好像不差，但我想精确度再高一点，有改进办法吗？

师：图1中尽管x1的精确度不高，但与选取的初始值x0比起来，明显更逼近r.如果要求一个精确度更高的近似解，可否把x1利用起来？

生7：求函数f(x)在x1处的切线方程，再求出切线与x轴交点的横坐标.

师：设求出的横坐标为x2，你能说明x2比x1更好吗？

生8：应该可以.

师：那我们来仔细观察一下.

图1

(借助几何画板继续作x1处的切线，发现x2确实比x1好，如图1.)

师：参照求x1的过程，请大家用x1表示x2.

(借助计算器，若x0=1，可得x1=1.5，x2≈1.416 67.)

5.3 精雕细琢，优化“操作链”

师：那么x2作为r的近似解就可以了吗？

生10：不行，x2有可能误差还是太大.

师：那该怎么办？

生11：继续求f(x)在x2处的切线方程，再求出切线与x轴交点的横坐标x3.

师：很好，也许x3还不满足要求，但多求几次精确度总会更好,经多次重复，得到一列数：x0，x1，x2，x3，…，xn,从图像上可知这一数列越来越逼近r.

问题4xn与xn-1之间是否有关系？

生12：是.

师：借助此递推式求近似解的方法就称为牛顿法.该递推式的得出借助了导数工具，因此牛顿法实质就是用导数方法求方程的近似解.该递推式称为牛顿法公式，要使公式有意义，f′(xn-1)的值可否为0？

生13：不可以.

师：那f(xn-1)=0呢？

生14：精确解求出来了.

师：牛顿法可以求出准确解.通过刚才的研究我们发现xn可能有无数多个，数不在多，够用就行.

问题5xn满足什么要求才能作为r的近似解？

生15：当|f(xn)|的值小于事先给定的一个精确度时，xn可作近似解.

生16：当|xn-xn-1|的值小于事先给定的一个精确度时，xn可作近似解.

师：现利用计算机技术(Excel表)，如表2，先仔细观察数据变化，再思考如何定义更合理.

表2xn,f(xn)数据变化

操作说明x0取0.5，1，2，5，10等值，仔细观察xn，f(xn)数据的变化，数据不够就下拉几行，会自动生成.

5.4 比较对照，体悟“先进性”

师：就算初始值x0偏离准确解比较远，牛顿法也能很快求出精确度比较高的近似解.在科学与工程上常遇到求方程的解，但方程的精确解或不可利用，或求精确解的成本很高，常考虑其满足一定精确度的近似解.通过这个例子我们发现利用牛顿法求方程近似解非常高效，应用广泛.

5.5 尝试纠偏，聚焦“初始值”

例1利用牛顿法求方程x3+2x2+10x-20=0的近似解，精确度z=0.001.

PPT展示基本步骤，提供答题范本如下：

解令f(x)=x3+2x2+10x-20，则

f′(x)=3x2+4x+10,

第二步:____________.

师：请大家选一个x0，借助计算器，根据示范的步骤算出符合精确度要求的近似解.

从学生中选出初始值分别为1和2的解答，并在备好的计算机程序上给学生检验一遍，另选定一个初始值4，得到以下表3：

表3 不同初始值的迭代次数

问题6不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在什么地方？

结论影响在迭代次数，初始值越接近零点越好，因此用牛顿法求方程的近似解时要先对零点作估计.

师：大家觉得利用牛顿法运算有何特点？

生17：运算繁琐.

设计意图先统一解答格式，避免杂乱无章的解答浪费学生宝贵的时间.通过实例训练，感受牛顿法运算的特点，理清基本步骤，加深对牛顿法的认识.

5.6 提炼算法，达成“机械化”

师：既然牛顿法的运算比较繁琐，为何不把运算问题交给计算机解决，刚才的小程序是怎么编出来的呢？我们不妨先提炼牛顿法的算法.

提炼牛顿法的算法并展示框图.

1)牛顿法求方程近似解的基本步骤：

第一步,给定初始值x0和精确度z0；

2)展示框图.

设计意图算法精炼地表达了牛顿法，达到了化繁为简、深入浅出、为生减负的目的.

师：运算的问题可由计算机代劳，由于迭代次数大大减少，牛顿法运算效率突出，优势明显，在科学和工程中有着广泛的应用.希望同学们努力学好数学，为投身中华民族伟大复兴打下坚实的数学功底.

6 教学说明与反思

6.1 为何强调用牛顿法求近似解

因为牛顿法算法简洁，运算高效，应用广泛，作用无可替代，所以牛顿法是珍贵的数学方法.学习牛顿法，绝不是仅为了求近似解，此法“高端”，让学生感受到数学在科学工程上的应用，认识到数学的重要性；牛顿法蕴涵着珍贵的数学思想，有利于锻炼学生理性的思维品格、创新能力，发展学生的数学核心素养.

6.2 “以直代曲”关键问题的思考起点

“以直代曲”的思想早已出现，古代著名数学家刘徽和祖冲之“化圆为方”计算圆周率就运用了“以直代曲”思想，意在方便求圆的面积，无需求出直线解析式.牛顿法中的直线肩负着两个重要任务：一是把复杂的曲线转化为简单的直线；二是借助直线求出与x轴交点的横坐标，达到求近似解的目的.

章建跃老师告诉我们：教学要返璞归真，要让学生参与知识的生成和发展过程，在教学中培养学生的创新精神和实践能力[2].笔者一直在思考，牛顿因何想到如此“神奇”的直线？1666年初，牛顿创立了三大运动定律，并着重从运动学角度研究微积分，1671年完成了与牛顿法相关的《流数法》.牛一律告诉我们：一个运动的物体，在某一时刻如果外力消失，物体将做匀速直线运动，这条直线就是原来曲线的一条切线.基于以上理由，牛顿第一运动定律为发现牛顿法作了一些铺垫.从学生熟知的牛一律引出“切线问题”，凝聚着我们对数学历史发展的思考，渗透了数学文化，让课堂变得生动有内涵，体现了自然哲学的数学原理.

6.3 迭代和精确度问题

这两个问题也是本堂课难以突破的地方.迭代和精确度是相辅相成的，迭代是为了提高近似解的精确性，精确度是迭代的动力和休止符.

如何引导学生发现迭代？是因为无法保证x1满足精确度要求，这点一定要让学生发现;然后才产生第二个问题：如何提高近似解的精确度？这与二分法有了联系.细究方法均具有“模式化”特点，有利于机械化解决数学问题[3]，算是数学中的辩证和统一吧.

精确度该如何定义？学生肯定很难想到教材上的答案，因为多种定义都很合理，学生的认知很难发现缺陷和不足.因此精确度问题不要过多纠缠，说清楚就好.

以上3点是笔者对这堂课几个关键问题的反思.本节课知识容量大，很难顾及到教学的方方面面，但把握以上几点，相信课堂教学很多难题会迎刃而解.