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把握结构特征,了解数学本性

2018-11-23沙国祥

新高考·高三数学 2018年7期
关键词:结构特征本性滴水

沙国祥

结构,《现代汉语词典》释义为“各组成部分的搭配或排列”,指事物基本单元或部件之间的关系.无论是具象世界,宏观如太阳系,中观如建筑,微观如分子,还是抽象世界,如文章、诗词,均有各自的结构,数学也不例外,数学对象如代数式、数列、函数、图形等,同样也有相应的结构.结构,在很大程度上决定了事物的本性,本文以数列为例,谈谈如何抓住数学对象的结构特征,研究、了解其本性,由此可以把准很多很多高考题的命题立意,寻得解题思路.

命题往往采用逆向思维来立意,寻求刻画数学对象本性的充要条件.

以上我们探讨了等差数列的结构特征.那么,等比数列的结构有何特征?这些结构特征又怎样决定了它的本性?有关高考题是怎样以此立意的呢?

现在来看一个有趣的滴水问题:

往一个水池中滴水,第1s,1滴水;第2s,2滴水;第3 s,4滴水;第4s,8滴水;……每秒滴水量为前一秒的2倍,若加满半池需要ns,问:加满整个水池还需要多长时间?

半池水,共有

1+2+22+23+…+2n-1=2n-1(滴).

再用I s,加水2n滴,已经超过了前ns所加水的总滴数,因此加满整个水池,还需要不到1s的时间就足够了!

简直不可思议!实际上,这个问题的结果生动地反映了等比数列的重要特性:

这表明,当公比大于或等于2时,等比数列的项增长极快,以至于所有前项的和S。还抵不上紧接着的后一项an+1.这种指数增长的特性,是由等比数列前n项的和Sn的结构所决定的:

该题命题的立意基于:1.等差数列通项的一次函数特征(也即线性特征:一个等差数列的各项同时乘以或同时加上同一个数,所得新数列仍然是等差数列);2.等比数列的前n项和与第n+l项之间存在线性关系(**).

由于等差数列、等比数列具有各自的结构特征和本性,只有极个别特殊数列可兼有二者身份.

性质二 如果一个数列既是等差数列又是等比数列,那么该数列必定是常数列.

从等差数列与等比数列的結构和变化特征,可以直觉地领悟这一点:除了常数列以外,等差数列是均匀变化的,而等比数列则是非均匀变化的,可以是滚雪球或指数式增长!

对于第(2)题,仍然要抓住等差数列通项的一次函数特征,并再次利用数列的基本特性,即性质二.

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