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找准内在联系,建立数学模型

2018-11-23王思俭

新高考·高三数学 2018年7期
关键词:游船海岛数学模型

王思俭

考试结束了,学生涌出考场,边走边议论,“今天的应用题,我没有想到它是什么模型”“我又没有理解题意,不知道如何建立数学模型”“题目中的参量较多,不知道选择哪一个作为自变量”“应用题的数学模型究竟有哪些,我背了前几年的数学模型,但一到考场里就全忘记了,不知道怎样寻找几个量之间的联系”……我为此邀请几位学生针对数学应用题的建模问题进行交流,旨在通过对几道应用题的分析,引导学生寻找变量与变量、变量与参量的内在联系,掌握建立数学模型的基本思路.

生甲:如图1,某海岛观察哨A测得在海岛北偏东60°的C处有一轮船,80 min后测得船在海岛北偏西60°的B处,又过20 min轮船到达位于海岛正西方且距离海岛5 km的E港口.如果轮船始终做匀速直线运动,求轮船的速度.

我没有读懂题意,这题的数学模型是什么?我建立直角坐标系求解,运算量较大,过程太繁琐,没有成功!

师:首先要弄清楚本题有哪些条件,结论要求什么?条件有4个,结论是计算轮船的速度,我们只要计算BE或BC的长.你们知道线段BC与BE所用的时间之比是多少吗?

众生:4:1.

师:于是问题可以转化为我们要求的线段长度之比是多少?

众生:也是4:1.

师:你们再阅读题目,找一找还有哪些已知条件?

师:这些边与角的条件出现在3个三角形中,建立解三角形的数学模型就可以解决问题.

师:很好!本题是以解三角形为背景的应用题,数学模型就是路程与速度的模型.从解题过程来看,关键是要找出或设出角度,实质是解斜三角形,将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中,灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.

师:你们阅读理解这句话:“若该参与者通过浮桥AB的过程中,从点0处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置,则认定该参与者在这个游戏中过关;否则,认定在这个游戏中不过关,”领会它的含义是什么?能否提供建立数学模型的相关信息?

师:本题的第(2)小题数学模型是三次函数模型,通过点在直线上建立函数关系式,将解三角形、直线方程、两点间距离公式、导数等相关知识整合在一起,然后再利用导数求解,最后再回到实际问题中来.

生甲:如图3,AB是沿太湖南北方向道路,P为太湖中观光岛屿,Q为停车场,PQ =5.2 km.某旅游团游览完岛屿后,乘游船回停车场Q,已知游船以13 km/h的速度沿方位角θ的方向行驶,sinθ=-5/13,游船离开观光岛屿3 min后,因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合,立即决定租用小船先到达湖滨大道M处,然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车).假設游客甲乘小船行驶的方位角是α,出租汽车的速度为66 km/h.

(l)设sin α=4/5,问小船的速度为多少km/h时,游客甲才能和游船同时到达点Q;

(2)设小船速度为10 km/h,请你替该游客设计小船行驶的方位角α,当角α余弦值的大小是多少时,游客甲能按计划以最短时间到达Q.

第(l)小题的数学模型是方程类的问题,解直角三角形,建立方程;第(2)小题是三角函数模型.但由于我没能正确理解方位角,导致建模错误,因此本题没有得分.

师:解数学应用题首先是对相关概念、信息要理清楚,如方位角的概念,它是指从指北方向顺时针转到目标方向线的角;其次正确选择数学模型,如本题是属于追及类问题(方程、函数),要抓住同时到达;再次选择合理的运算方法进行求解;最后回到实际问题中去.

师:正确!本题的数学模型并不是很复杂,但关键是挖掘题目中的隐含条件,收集题目中的相关数据并认真分析,当遇到困难时,再读题,再思考还有哪个条件或数据没有用上.

解应用题的关键就是提出问题,收集数据,整理分析数据,建立模型,分析求解,回归检验,正弦定理、余弦定理在测量(角度、距离)、合理下料、设计规划等方面有着广泛应用,从以上3题的分析过程我们可以获得求解应用题的基本策略:

(l)弄清题意是前提,通过阅读,知道讲的是什么,训练自己独立获取知识的能力.

(2)建立模型是关键,需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.在构建数学模型的过程中,要有对数学知识检索的能力,认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化.

(3)正确解模是目标,建立了数学模型后,要正确解出数学问题的答案,并加以检验,需要扎实的基础知识和较强的数理能力.

(4)提高能力是根本,正确快捷地求解应用题需要提高各种综合能力,

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