杨 磊

贵州六盘水师范学院

高等数学是由微积分学、代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括函数与极限、微积分、空间解析几何、常微分方程、无穷级数。高等数学是高校一门重要的基础学科，作为一门基础科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点，有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。所以说，数学就是一种思想方法，学数学就是学方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是进入了新时代，大数据和电子信息使得数学的应用领域更加拓宽，数学成为科技发展的强大动力。

高等数学这门课程不仅能够培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力，还能培养其综合分析能力。课程中教学难度比较大，该门课程有着较大的综合性和应用性。在进行高等数学教学过程中不能单纯的只进行理论教学，而应该结合案例进行现实性的案例分析，通过把理论知识融合到实际案例中，才能真正对这些高等数学知识进行融会贯通，取得好的教学效果。

教师应该积极引导、指导学生案例分析，提高学生学习高等数学的积极性和主动性，培养其分析问题和解决实际问题的能力，培养学生数学思维能力，从而提高教师的教学能力和教学水平。

一、高等数学案例教学的意义

案例教学是一种以案例为基础的教学方法，教师在教学中扮演着设计者和激励者的角色，鼓励学生积极参与讨论。高等数学案例教学是教师在实际课堂教学过程中，将生活中的数学实际例子引入课堂来实施教学，利用具体的数学问题进行数学建模。因此，选取案例一定要接近实际生活，让学生感受到数学在实际生活中的应用，数学与生活的紧密联系。

随着新时代高等教育的发展，现在的高等数学教学应重在培养高技能性的数学人才，教学的核心注重提高学生的实际问题处理及创新能力。高等学校高等数学教学的过程，其最终的目标就是要培养大学生对于数学的具体实践意识、动手能力以及具有开创性的应用能力。在新时期对于学习高等数学的学生提出新理念和要求的情况下，在数学教学过程中引进案例教学这一方式，完全突破了传统的那种重在理论教学的数学教学模式，取而代之的是以数学的实际应用能力为核心、尊重学生自主讨论的数学教学理念。与此同时，案例教学的内容一般来自于实践生活中、工业以及其他行业中的具体问题，在老师的引导和沟通下，充分尊重学生自我思考的主观能动性，要求高校学生在一定的时间内通过讨论、分析、总结的方式对案例进行挖掘，这种师生平等沟通、共同解决问题的过程完全打破了传统的讲授的教学方式，通过在高等数学中进行案例教学不仅促进了师生之间的交流，而且对于整个数学教学质量的提高也有着很大的促进作用。

高等数学教学中使用案例教学方法，弥补了我们教师传统教学方法的不足，把数学公式、数学定理放在实际例子中来讲解，使其真实化具体化。让学生在这种实际案例的引导下，在解决实际问题中认识数学概念与数学原理。案例教学方法还能够培养学生的创新能力与综合分析能力，使得学生能够把学习的知识很好地与实际生活紧密结合。另外，案例教学法也可以提高教师的创新精神。教师通过案例教学得到的知识是内化了的知识，并且可以在很大程度上整合教育教学中那些“不确定性”的知识。可以帮助教师理解教学中所出现的两难问题，掌握对教学进行分析和反思的方式。大大缩短了教学情境与实际生活情境的差距，案例的运用也可以促使教师必须很好地掌握数学理论知识。

二、高等数学案例教学的实施

在高等数学中应用案例教学法进行教学过程中，不仅需要师生之间的良好配合，而且必须对案例教学的全过程进行有计划的规划，在不同实施阶段进行相应的教学工作。应在讲授知识内容前引入，通过案例加深印象，使学生更好地理解相关的知识。通过案例将主要内容进行深化，使学生更好地吸收讲授内容。我们可以通过案例引导学生把定义、定理向深层次进行拓展。提前把案例材料发给学生，让学生阅读案例材料，查阅资料和读物，搜集必要的信息，积极思索，形成案例中问题的原因分析和解决方案。

1.案例教学的准备。

包括教师案例准备与学生课前准备。教师以学生具备的数学经验与理论知识为基础，做好数学建模案例准备。使用案例教学方法时，首先将案例教学的结构及对学生的要求明确提出，指导学生建立小组。其次，教师提供的案例所涉及的数学理论知识应该是学生所具备的。教学案例的选择应该紧扣教学目标以及尊重学生知识接受水平的情况下，最终找到具有可行性和应用性的案例进行数学教学。要联系现阶段这些学生所掌握的数学知识、应用能力、知识构造以及教学目标对教学案例进行选择和设计。通常情况下，理论性知识都是比较抽象的，这些知识、概念或理念脱离特定情境，以一种符号或其他方式表现出来。因此在使用案例教学法时，应该注意授课的内容与方法，应该重点强调数学理论内容的框架，计算部分可以用计算机代替。例如，在讲授极限课程时，应该重点强调极限来源以及应用，不强调极限的计算方法。

教师为案例教学做准备，学生也要做一些准备，案例教学过程中需要同学们进行小组讨论，所以首先要学生进行分组，并且教师可以把课堂上要讨论的案例先分发给小组，从而让学生对案例有一定的认识，最终提高上课的效率。 学生根据自己的知识和经验，对案例中某种情境提出自己的设想或者假设，也可以提出自己的行动计划或者确定案例中的问题，这些活动、假设、建议等都属于“准备”。教师应该在学生准备阶段给予其相关理论指导，为学生提供一些理论依据。学生准备过程中，应该首先阅读案例，对案例内容有一个大体了解，然后分析案例，将案例的关键问题确定，寻找分析这种案例的一般性方法，将案例系统中的主次关系分析清楚，找出自己分析的逻辑依据，确定要采取的分析类型和方法。

2．案例教学的实施。

在高等数学课堂案例教学的实施过程中，应该通过选取简短而典型的案例进行教学，在课堂开始初期主要通过教师的讲解、分析和引导。然后，适当地引入与课堂知识相关的简单“数学模型案例”。 例如在讲定积分的定义的时候，我们可以先从如何求由连续曲线围成的曲边梯形的面积入手。如何用定积分求经济问题，如何用定积分求解物理中的变力做功问题，液体压力问题等等。

高等数学中的案例教学实施过程：一是问题提出。在引进某个概念的时候，先从简单的例子入手，这样提出的概念，接受很自然，对概念理解也相对深刻。二是问题分析。简单地说问题分析就是解决问题的思维过程，通过问题分析找出问题所在，并确定问题发生原因。把问题分解为各个比较小的问题，然后制订研究这些问题的先后程序。例如如何求曲边梯形的面积没有现成的公式可用，这是一个未知的问题，如何把这样的问题转化为已知的问题，是问题分析的关键。我们知道，矩形的面积是底乘以高，而曲边梯形与矩形的区别在于高的变化。如果我们把底分成一些小区间，得到一些小曲边梯形，可以近似看成小矩形，从而算出面积近似值。分割越细，则近似值与真实值越接近，从而可以通过极限求出曲边梯形的面积。三是问题解决。根据问题，进行简化。分析完问题后，引进相应的数学符号，引导学生转化为数学模型，然后求解数学模型，这样就解决了数学实际问题。四是问题结论。教师要进行及时的整理，针对讨论的问题、探索的问题和解决的问题总结，最终形成系统的教学案例资料。

三、高等数学案例教学的特点

1．鼓励独立思考，具有深刻的启发性。

在案例教学中，教师引导学生独立思考、组织讨论研究，进行总结和归纳。通过案例教学，使学生大脑兴奋，注意力能够得到及时调节，有利于学生精神维持最佳状态。传统的教学阻碍了学生的积极性和主动性，但案例教学是要学生自己去思考、去创造，使得教学活泼生动。而且案例教学的实施过程，每位学生都要发表见解。通过这种经验的交流。一是取长补短、促进交流能力的提高，二是起到一种激励的效果，从而使学生积极进取、刻苦学习。案例教学目的在于启发学生独立自主地去思考、去探索，注重培养学生独立思考能力，启发学生建立一套分析问题、解决问题的思维方式。

2．注重客观真实，提高学生实践能力。

案例教学的最大特点是它的直观性和真实性。由于教学内容是具体的实例，采用的是形象、直观、生动的形式，给学生身临其境之感，易于学习和理解。案例描述的事件都是真实的，由案例的真实性决定了案例教学的真实性，学生根据自己所学的知识，得出自己的结论。通过一个或几个代表性的典型事件，让学生在案例的思考、分析、讨论和总结中，建立起一套完整而又严密的逻辑思维方法和思考问题的方式，以提高学生分析问题、解决问题的能力。众所周知，知识不等于能力，知识应该转化为能力。现在绝大部分学生只会学习书本知识而忽视实际能力的培养，不仅阻碍自身的发展，今后走入工作岗位难以入手。案例教学正是为此而生，为此而发展的。学生在校期间就能接触并学习到大量的社会实际问题，实现从理论到实践的转化，提高大学生的实践能力。

3．重视双向交流，加强综合能力培养。

教师在课堂上不是“独唱”，而是和大家一起思考讨论，学生在课堂上也不是被动听课，而是共同探讨问题。由于调动集体的智慧和力量，容易开阔思路，收到良好的效果。传统的教学方法是老师讲、学生听，听没听、听懂多少。要到最后的考试时才知道，而且学到的都是一些理论知识。在案例教学中，学生拿到案例后，先要进行课前准备，查阅一些必要的相关理论知识。无形中加深了学生对知识的理解，而且是主动进行的。课前准备好后，学生还要经过缜密地思考，分析问题、提出解决问题的方案，这是综合能力上的升华。同时，学生随时要求教师给以指导，这也促使教师加深思考，根据不同学员的不同理解补充新的教学内容。双向的教学形式对教师也提出了更高的要求。学生在教师的指导下，参与进来、深入案例、体验案例角色。在教学过程中存在着老师个体与学生个体的交往，教师个体与学生群体、学生个体与学生个体、学生群体与学生群体交往，也就是师生互动、生生互动。 案例教学一般的举例内涵丰富，二是案例的分析、解决过程也较为复杂。学生不仅需要具备基本的理论知识，而且应具有审时度势、权衡应变、果断决策之能。案例教学的实施，需要学生综合运用各种知识和灵活的技巧来处理，从而加强了学生的综合能力的培养。

高等数学案例教学采用数学知识、数学模型解决实际问题。案例教学法在高等数学教学中的应用充分发挥了高校学生的主观能动性，能够把现实实际生活与高等数学知识有效的结合，从而提高高等数学的教学质量。案例教学能够创设学习情境，很好的激发大学生的数学学习兴趣，培养大学生的实践能力和综合能力，培养大学生的创新思维能力，实现新时代创新型人才培养的目标。