广东省广州市从化区第六中学(510925) 黄志敏

高中课程标准修订组明确指出,高中阶段数学应包括以下六个核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象以及数据分析.通过对近几年高考试题的分析研究,可以发现试题在考查基础知识、基本技能和基本方法的过程中,渗透了核心素养和数学能力的考查,考查直观想象核心素养的试题更是随处可见.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程.具体来说,直观想象素养包含了几何直观、空间想象及直观洞察三大能力.在课堂教学中训练学生建立数形联系呈现几何直观、借助特殊模型积累直观感知以及理解图象特征迸发直观洞察,不仅能有效地简化复杂的数学问题,还能有效地培养学生的直观想象素养,提高学生的各种数学能力.下面结合本人的教学实践,具体谈谈.

一、建立数形联系,呈现几何直观,增强运用图形能力

直观想象是利用图形理解和解决数学问题的过程.数学中数与形是相互联系密不可分的,建立数与形的联系,能加深学生对数学问题本质的理解和认知,从而使学生能更快地找到解决数学问题的方法.向量是高中数学中的重要概念,它兼具了代数的抽象与严谨和几何的直观.纵观历年的高考试题,横看各地的高考卷,不难发现命题者特别注重考查学生是否掌握向量各种运算的运算法则,及学生是否能理解其直观的几何意义,正确地进行运算.如果在向量问题的课堂教学中,引导学生认清向量概念的本质,适时地借助图形理解和解决问题,既能节省解题时间又能培养学生的直观想象素养,更能增强学生运用图形的数学能力.

例 1已知则的最大值是____.

分析向量本身是数形结合的产物,在解题中若能抓住向量加法和减法的几何意义,利用图形,呈现向量几何的直观性,能为解决问题提供更简洁的解题思路.

图1

解因为是单位向量如图1,作以A为圆心作半径为1的圆,设圆A上的点为 C,则所以

此例能使学生对向量加减法的几何意义有了进一步的理解,同时也让学生深刻体会到应如何利用图形理解和解决数学问题,有利于培养学生的直观想象素养,并增强学生运用图形的能力.

图2

A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2

C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I3

本题主要考查平面向量的数量积运算,绝大数学生不可能直接算出I1、I2及I3,但学生若能从利用图形,并结合数量积的几何意义,可以很快得出答案.

高中数学中很多概念、定理和公式都具备数与形的特征,在课堂教学中引导学生借助图形,建立数形联系,呈现概念的几何直观性,并利用其几何意义进行解题,不仅能使学生快捷地找到解题的突破口,有效地缩短解题的时间,同时也可以帮助学生进一步理解概念、定理和公式,更重要的是利用图形理解和解决数学问题的过程中,能增强学生运用图形的数学能力,从而有效地培养了学生的直观想象素养.

二、借助特殊模型,积累空间想象,培养空间思维能力

在立体几何的解题教学中,若能借助特殊模型(长方体或正方体),让学生通过直观感知特殊模型中点、线、面的位置关系,积累空间几何体的表象,增强空间图形的直观感,养成空间思维习惯,对增强学生的空间思维能力以及培养学生的直观想象素养有明显的促进作用.

例3已知平面α,β及直线m,n,则下列命题正确的是_________.

①若m⊥n,m⊥α,n//β,则α⊥β;

②若m⊥α,n//α,则m⊥n;

③若α//β,m⊂ α,则m//β;

④若m//n,α//β,则m与α所成的角和n与β所成的角相等.

此例考查的是点、线、面位置关系的判定,它是整个立体几何知识的基础,但部分学生缺乏空间感并不能很快地判断出各个结论的真假.在教学中,若能借助长方体这个特殊模型,以长方体中具体的点、线、面之间的关系为载体,使学生通过直观感知特殊模型,增强空间观念,认清空间中点、线、面间的位置关系,学生就能很快地判断出各个选项的真假.在立体几何的基础教学中,适时地使用特殊模型,能有效地为培养学生的空间思维能力打下坚实的基础.

例4某多面体的三视图如图3,4所示,且图中小正方形的棱长为1,则该多面体最长的棱的长度是____.

图3

图4

此例要求学生将三视图还原出对应几何体,然后才能找出最长的棱,这是高考的常考点和必考点,对学生的空间想象能力和思维能力要求比较高,学生有时甚至无从下手.在三视图的教学过程中,若能借助特殊模型(长方体或正方体),引导学生将正视图、俯视图及侧视图分别看作是几何体置于特殊模型内时,其在模型里面、下底面及右侧面的投影,增强教学的直观性,可让学生通过直观感知积累空间想象.当学生遇到由三视图无法还原出几何体的题目时,还可以引导学生在长方体(或正方体)确定几何体的顶点,从而快速地确定出原几何体.

如此例可选择棱长为4的正方体模型,由俯视图可知,几何体顶点不可能出现在点A、A1,即排除顶点A、A1,同理由正视图可排除顶点A、D,再由侧视图排除顶点B、B1,余下的三个顶点C、C1及D1即为原几何体的顶点,最后根据正视图可确定原三棱锥的第四个顶点为棱BB1的中点E.最后,结合正方体模型的数量关系不难发现三棱锥E-CC1D1的最长棱应为ED1,且长度为6.

空间几何体的三视图是培养学生空间思维能力的有效载体,借助特殊模型解决三视图问题,便于学生直观感知和发挥空间想象,从而使得解题过程简便快捷,并能有效培养学生的直观想象素养.

例5正三棱锥P-ABC的侧棱PC垂直于平面PAB,且则此三棱锥外接球的体积是____.

图5

在此例中很多学生无法直接找出外接球的球心,不能确定外接球的直径,从而无法求出三棱锥外接球的体积.此时,可引导学生把题目中的正三棱锥放到正方体(或长方体)模型中讨论,利用正方体(或长方体)的外接球的相关知识进行解题.具体如下:

解因为正三棱锥P-ABC的侧棱PC垂直于平面PAB,所以PC⊥PA,PC⊥PB,PA⊥PB,故三棱锥P-ABC的外接球其实就是棱长为的正方体的外接球,从而所以球的体积

多面体的外接球问题一直是全国卷的常考点,但很多学生不擅长直接找出球心,在课堂教学中训练学生借助特殊模型,找出外接球直径,能降低解题的门槛.在立体几何教学中,适时、适当地借助特殊模型,充分发挥模型的直观性,能帮助学生积累空间想象,培养空间思维能力,是培养学生直观想象素养的有效途径.

三、理解图象特征,迸发直观洞察,提升数形结合能力

函数的图象是数学学习的重要研究对象,函数图象的几何特征能有效地反映出函数的基本性质,利用图象有助于寻找理解和解决函数问题的方法.直观洞察力是直观想象素养的明显特征之一,直观洞察力是指学生获取特定情境的图象信息后,能将获取的信息与自己的知识体系马上建立联系,从中筛选出解决问题方法的能力.由此可见让学生理解和掌握基本初等函数的图象特征,并掌握常见的图形变换(平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等),有利于提升学生在解题中的直观洞察能力,培养学生的直观想象素养.

例6若函数f(x)的定义域为R,图象关于原点对称,且f(x)=x3-2(x＞0),则函数f(x+2)的所有零点之和为____.

在此例中利用奇偶函数图象的性质,不难发现f(x)为奇函数,再由奇函数的定义可求出x＜0时函数f(x)的解析式,从而得出f(x+2)的解析式,然后就可求出f(x+2)的所有零点.但此题若用上面的方法直接求解f(x+2)的零点,显然计算量比较大.我们不妨引导学生结合函数奇偶性的性质,并从函数图象变换的视角分析题目,这样能很快获得答案.具体如下:

解由题意可得函数f(x)为奇函数,当x＞0时,f(x)=x3-2,结合图象可知,函数f(x)有一个大于0的零点x1(x1＞0),再由奇函数的图象性质可知,函数f(x)还有一个小于0的零点x2(x2＞0),且x1与x2关于原点对称,再由奇函数的性质可得f(0)=0,即函数f(x)的零点x3=0.把f(x)的图象向左平移2个单位可得函数f(x+2)图象,所以把f(x)的零点向左平移2个单位可得函数f(x+2)的零点,且零点x4与x5关于点(-2,0)对称,零点x6=-2,从而函数f(x+2)的所有零点之和为-6.

图6

图7

显然,在上例中学生若熟悉平移变换以及图象对称等相关知识,则能在获取题目特定的信息后,根据直觉(即直观洞察力)快速得出答案.

例7若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为___.

解法一将 函数y=f(x)的图象向右平移2个单位,可得函数y=f(x-2)的图象,由题意得函数y=f(x-2)的图象关于直线x=0对称,且f(x-2)为偶函数,又f(x-2)=(-x2+4x-3)[x2+(a-4)x+4-2a+b]展开式中x3的系数为8-a,故a=8,x的系数为28+4b-11a,故b=15,所以f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.因为f′(x)=-4x3-24x2-28x+8,所以令f′(x)=0 得x3+6x2+7x-2=0.因为函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,所以x3+6x2+7x-2=0可分解为(x+2)(x2+4x-1)=0.最后利用导数可求出当或时,f(x)的最大值为16.

解法一中利用了平移变换以及偶函数的图象性质等相关知识来解题,有一定的计算量,对学生的运算能力要求比较高,若在解题中进一步关注图象的对称性,能使解答过程有所简化.

解法二因为函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,且已知f(x)的两个零点为1和-1,则根据对称性可知另两个零点为-5和-3,所以f(x)=(1-x2)(x+5)(x+3)=(1-x2)(x2+8x+15)即a=8,b=15,以下同上.

上面两种解法中,求解高次方程x3+6x2+7x-2=0的运算量还是不小的,若能进一步挖掘题目的条件,灵活运用图象的对称性这一图象特征进行解题,能进一步简化解答的过程.

解法三将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位,可得函数y=f(x-2)的图象,由题意知,y=f(x-2)的图象关于直线x=0对称,且y=f(x-2)的其中两个零点为1和3.由图象的对称性可知,y=f(x-2)另外两个零点为-1和-3.故可设y=f(x-2)=(1-x2)(x2-9).因为函数y=f(x-2)=(1-x2)(x2-9)与函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)最大值不变,只需求函数y=f(x-2)=(1-x2)(x2-9)的最大值即可.设t=x2,y=f(x-2)=(1-x2)(x2-9)=g(t)=(1-t)(t-9)≤g(5)=16.

在上例中从解法一到解法三,解法越来越简洁,但对函数的图象特征的依赖越来越重.由此可见,对图象的特征及常见的图象变换理解得越透彻,越能迸发直观洞察,找到解决问题的方法.因此,对图象特征及图象变换的理解是直观洞察力产生的必要基础.在课堂教学中要求学生既要精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的基本变换.这样既能提高学生的直观洞察力,培养学生的直观想象素养,又能提升学生数形结合的能力.

总之,培养学生的直观想象素养就是培养学生用数学的眼光观察世界,采用适当的方法,借助图形、图象以及实物模型等,增强学生运用图形的能力,培养学生空间想象思考能力,不仅能有效地简化数学问题,培养学生创新思维,更是学生建立直观想象素养的根本途径.