广东省佛山市南海里水初级中学(510000) 罗惠庭

数形结合就是分别借助“形”的直观性、整体性及相关几何性质优势,“数”的精确性、良好的运算属性及其代数背景,在数与形有明确对应关系的基础上将问题有效转换,以解决问题的思想方法.著名数学家华罗庚先生曾经说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休”.数形结合能把代数方法与几何方法的精华都集中起来,既发挥代数方法的一般性和解题过程的程序化、机械化优势,又发挥几何方法的形象直观特征,形成一柄双刃的解题利剑.

具体解题中的数形结合,是指对问题既进行几何直观的呈现,又进行代数抽象的揭示,两方面相辅相成,而不是简单的代数问题用几何方法或几何问题用代数方法,这两方面都只是单流向的信息沟通,惟双流向的信息沟通才是完整的数形结合.以前我们在解题教学过程中,不是忽视提炼数学思想方法就是太急进,因此教学效果不理想.为了改变这种状况,我们课题组申报了广东省教育科学十二五规划课题《如何在初中数学教学中渗透数学思想方法的实践研究》的子课题《在初中数学教学中渗透数形结合思想方法的案例研究》,在我校7-9年级进行了研究,并取得了较好的教学效果.下面就北师大版教材中的一些典例,结合课题组的部分成果及本人的一些教学体会谈谈数形结合思想在初中数学解题教学中的渗透策略.

一、以形助数――借助图形的直观理解数量关系

有些数量关系比较抽象,我们难以把握,而“形”不但具有形象直观的优势,而且具有几何结构的整体性和平面直角坐标的有序性等优势.这些优势能表达较多的具体思维,起着解决问题的定性作用,因此我们可以把“数”对应的“形”找出来,把数量问题转化为图形问题,并通过对图形的分析和推理最终直观解决数量问题.

(一)利用数轴上的点与实数的对应关系渗透数形结合思想

数轴的引入是有理数体现数形结合思想的典范.当学生遇到负数时,对负数的理解和大小比较造成一定的困难,而“形”具有形象直观的优点,所以此时利用数轴渗透数形结合思想就能很好地解决这个问题. 由于对每一个有理数,数轴上都有唯一确定的点与它对应,因此,两个有理数大小的比较,可以通过两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行比较(实数大小的比较也是如此). 而相反数、绝对值概念也是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的.

例1(七年级上册P.74复习题12)写出符合下列条件的数:(1)最小的正整数;(2)最大的负整数;(3)大于-3且小于2的所有整数;(4)绝对值最小的有理数;(5)在数轴上,与表示-1的点的距离为2的数.

教学分析本例如果从“数”去解题,学生解决起来会觉得抽象,特别是(3)(5)小题,符合要求的数较多,这时可以引导学生利用数轴,以形助数直观地解决问题.同时也要注意在小结解题方法时抓住时机,及时地渗透“数形结合思想”.

(二)利用函数图象渗透数形结合思想解决方程或不等式问题

由于平面直角坐标系具有有序性,所以函数与图象的数形结合成为必然.函数与方程、不等式都是刻画现实世界中“数”与“形”之间变化规律的重要模型,利用函数图象理解函数的变化趋势是培养学生数形结合思想的最好方法.如:可利用一次函数图象把一元一次方程的解和一元一次不等式的解集在平面直角坐标系中直观地表示出来.学生能形象地看到,不等式有无限多个解,而方程只有一个解.而在平面直角坐标系中能表示数集,则比在数轴上表示数又前进了一步.

例2(八年级下册P.50引例)作出函数y=2x-5的图象,观察图象回答下列问题:(1)当x取何值时,2x-5=0?(2)当x取哪些值时,2x-5＞0?(3)当x取哪些值时,2x-5＜0?(4)当x取哪些值时,2x-5＞3?

图1-1

教学分析从图象分析可以得到:直线y=2x-5与x轴交点的横坐标就是方程2x-5=0的解;直线y=2x-5在x轴上方图象(即y＞0)或下方图象(即y＜0)及直线y=3上方图象(即y＞3)的所有点的横坐标所构成的集合就是自变量x的取值范围.解题时教师应引导学生把“数”转化成“形”,以形助数,直观解决问题,让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式问题.让学生尝试从不同角度思考解决问题的方法,在对比与运用中逐步感受数形结合思想方法.

(三)构造几何模型渗透数形结合思想解决求值问题

当我们遇到比较复杂的代数求值问题时,可以从数式所涉及的几何意义出发,构造几何模型,利用图形的整体性,将抽象问题形象化,通过几何图形直观地揭示已知条件和未知条件之间的数量关系,结合图形的性质进行推理和论证,把“数”用“形”来转化,使本来很难解的题目,变得解起来得心应手了.

例3(七年级上册P.62习题3)

原题如图1-2,将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分,部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半,部分②是部分①面积的一半,部分③是部分②面积的一半,依次类推.

图1-2

(1)阴影部分的面积是多少?

二、以数助形――利用数量关系揭示几何图形的性质

虽然图形有形象、直观的优势,但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势.所以在定量方面还必须借助代数的计算,特别是对于较复杂 的“形”,不但要正确的把图形数字化,而且还要留心观察图形的特点,发掘题目中的隐含条件,充分利用图形的性质或几何意义,把“形”正确表示成“数”的形式,以数助形,利用数量关系揭示几何图形的性质.

(一)利用数列规律渗透数形结合思想破解图形规律

北师大版七年级数学上册第三章“字母表示数”,较多内容是探索几何图形中的数量关系.教学中教师若注重数形结合思想方法的渗透,会使学生很快领悟到几何图形的规律,从而找出其中的数量关系.当图形比较复杂时,我们可以借助数列的规律找到图形的规律.

例4(七年级上册P.98随堂练习)下面是用棋子摆成的“小屋子”,摆第10个这样的“小屋子”需要多少枚棋子?摆第n个这样的“小屋子”呢?你是如何得到的?

图2-1

教学分析如果从“形”的角度探究此题的规律,学生不一定能想到:将“小屋子”分成“三角形”和“正方形”,难于得到规律(2n-1)+4n=6n-1.如果教师引导学生从“数”的角度分析此题,很快发现摆后面一个“小屋子”总比它前一个多6枚棋子,利用等差数列的规律,容易概括出摆第个“小屋子”需要的棋子数,从而得到图形的规律5+6(n-1)=6n-1.

教学启示通过这道题的分析,教师应引导学生分析数与形之间的对应关系,借助等差数列关系认识棋子摆放的规律,运用“数”的规律,通过数值的计算,我们就可以寻找出处理“形”的方法,来达到“以数助形”的目的,从而破解了图形摆放的规律.

(二)利用数量关系渗透数形结合思想精准刻画几何图形

图形中往往蕴含着数量关系,我们可以借助代数的运算,将几何图形化难为易,表示成简单的数量关系,即“以数助形”.它可以借助于数的精确性来阐明图形的某些属性和特征,使学生在“见形”过程中有目的去“思数”,利用“数”来解释“形”.

例5(八年级上册P.10随堂练习2)如图2-2,在正方形ABCD中,AB=4,AE=2,DF=1,图中有几个直角三角形,你是如何判断的?与你的同伴交流.

图2-2

教学分析勾股定理逆定理是验证直角三角形的其中一种方法,而图中线段BF,EF,BE蕴含着数量关系,学生通过计算容易得到EF2+BE2=BF2,由此可以判断△BEF是直角三角形,这其实也是以数助形的具体体现.

三、数形互助――将数量关系和图形性质有机结合

数形互助是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以数助形或以形助数,而是需要数形互相变换,不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密,还要由“数”的严密联系到“形”的直观.解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发,认真分析找出内在的数形互助关系.一般方法是看形思数、见数想形.实质就是以数化形、以形变数的结合.在解题时注意引导学生把数和形结合起来考虑,把问题化难为易,获得简便易行的成功方案.

(一)利用函数图象与解析式中常数的对应关系渗透数形结合思想

在解决一些数学难题中,数形互助是我们经常使用的办法.将“数”和“形”适时转换,就能把难题化抽象为直观并能揭示隐含的数量关系.例如在利用二次函数图象与性质的解题中,函数图象与解析式中的常数往往形成了对应关系,如果教师能引导学生将图象与常数相互转化,通过数形结合的分析,让抽象的数量关系和解题思路形象地浮出水面,那么他们就会发现常数的数量关系,从而势如破竹地解决难题.

例6已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3-1所示,下列结论:①a+b+c＜0,②a-b+c＞0,③abc＞0,④b=2a中正确的个数是( )

图3-1

A.4 B.3 C.2 D.1

教学分析图形是一种重要的数学语言,能有效地表示一些代数中的数量关系.通过仔细观察函数的图象,常常可以得到一些代数的式子.引导学生从不同的角度思考问题,把数与形适时转换,由“数量关系”分析“图象特征”,由“图象特征”导出“数量关系”,它们互助互用,让学生逐步领略数形结合思想的奥妙所在.本例观察图象可得:当自变量x=1时,函数值y＜0;当自变量x=-1时,函数值y＞0,于是得到①②正确.再根据函数图象的开口方向、对称轴及顶点位置得到常数a、b、c的数量关系,从而可以判断③④正确.

四、渗透数形结合思想的教学反思

(一)实施数形结合思想教学以来,学生的解题能力明显提高

解题时利用数形结合,不仅形象易懂,而且可以帮助学生克服思维的定势,学生还可以进行大胆合理的想象,不拘泥于教师教过的解题模式,会选用灵活的方法解决问题,追求解题方法的简捷独特.以习题教学为例,通过分析解题的过程和步骤,从中提炼出数学实质与逻辑结构,把内在的思想方法浮出水面,就算不浮出水面的也能作为“隐性知识”渗透在学生的思想里.实践证明,这种做法是十分有效的.过去我校大部分学生都只是做一题会一题,而现在有80%以上学生能正确解决变式题,呈现了做一题会一类题的良好发展势头.

(二)数形结合思想的渗透是一个循序渐进的过程

实施数形结合思想教学以来,让我们深深地体会到:强化数学思想方法的教学是提高学生学习成绩的有效途径,但数形结合思想的渗透与方法的提炼不是一蹴而就,它是一个细致而漫长的过程.教师在教学中要注意每个学段课标的具体要求,根据学生的思维发展水平安排相应的教学,不可以拔苗助长,否则,适得其反.在数学解题教学中,教师应精心设计问题,有意识地梳理和归纳数学问题中的数形结合思想方法,渗透并显化其中的数形结合思想,从而培养学生良好的数学素养.

利用数形结合思想能优化解题思路,把问题化难为易、化繁为简,体现了数学和谐统一之美.代数中“杨辉三角”和几何中“黄金分割”都是数形和谐统一的典型范例,它们让数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙地结合在一起.和谐统一的数形结合可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化,让学生掌握新知识时思路清晰,复杂的问题学生借助数形结合往往会迎刃而解.而且数和形的巧妙结合能使学生从逻辑推理中领略到数形和谐统一美的神韵.