□ 朱雪莲 饶大燕 执笔

在一次教师培训中，笔者有幸聆听到蔡金法教授的讲座，他在讲课过程中给学员们呈现了一个数学经典问题——“三门问题”，组织大家采用小组合作方式开展研究。学员们对形成“换门”“不换门”“投币”的解决策略没有疑义，但由于问题的正确结果和解题者的直觉反应有着很大的差异，引起了大家的争议。回到学校后，笔者对这个问题一直怀有浓厚的兴趣，虽然可以通过百度查询到结果，但是久久没有找到一个能说服自己的解题办法。

一、实验解读

三门问题（MontyHallproblem），亦称为蒙提霍尔问题或蒙提霍尔悖论，出自美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的概率？

面对这个问题，直觉告诉人们：如果被打开的门后什么都没有，这个信息会改变剩余的两种选择的概率，哪一种都只能是二分之一。显然，这是一个概率论和人的直觉不太符合的例子，这告诉我们在做基于量化判断的时候，要以事实和数据为依据，而不要凭主观和直觉来决定。我们可以从合情推理或通过计算得出相应的概率。

推理过程如下：如果参赛者选择了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门；如果参赛者选择了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。我们可以遍历所有可能，那么假设参赛者选择1号门，就会存在三种可能情况：

A.参赛者选择汽车，主持人选择山羊甲，转换失败。

B.参赛者选择山羊甲，主持人选择山羊乙，转换成功。

C.参赛者选择山羊乙，主持人选择山羊甲，转换成功。

可见转换选择后的成功概率为三分之二。

计算过程如下：使用数学工具贝叶斯公式。我们用事件A代表参赛者第一次选择的门后是汽车，B代表主持人打开的门后是山羊。那么已知B的情况下，A发生的条件概率P｛A｜B｝用贝叶斯公式可得：

二、实验目标

拟通过1个课时的“三门问题”探究学习，达成以下学习目标：

1.知道什么是“三门问题”，通过猜想、推测、实验、分析，初步理解不换门、换门、投币三种策略赢得汽车的概率，培养学生的统计素养。

2.培养学生勇于猜想、积极合作、大胆求证、观察分析等的科学研究精神。

3.通过联系生活，学生感受数学与生活的密切联系，感受数学的价值。

三、实验过程

（一）“要不要换门”——创设实验情境，激发认知冲突

【教学片段一】

师：看明白了没有？看明白的同学简单地复述一下游戏规则。

生：就是有三扇门，三扇门后各藏有一件奖品，两件是山羊，一件是汽车。猜奖者任选一扇门并得门后的奖品。在猜奖者当场选定一扇门未打开前，主持人打开了另外一扇门，发现后面是羊。

师：这时，你打算怎么办？

生：坚持原来的选择。

生：改猜另一扇门。

生：投一枚硬币，正面朝上选择不变，反面朝上改猜另一扇门。

【环节点评】

富有趣味性的学习内容，使学生产生探究的兴趣与欲望。通过让学生观看综艺节目微视频的形式导入新课，数学游戏内容丰富且直观，又含有较高的思维含量，让学生对“三门问题”产生浓厚的学习兴趣。在猜奖者当场选定一扇门未打开前，主持人打开了另外一扇门，发现后面是羊。教师抛出问题：“这时，你打算怎么办？”在实验模拟情境中，有效唤醒了学生已有的统计知识经验，引发学生的认知冲突。

（二）“换门的胜算大吗”——大胆猜想，试析引发实验需求

【教学片段二】

师：同学们，现在出现了三种策略，你觉得哪种策略获得汽车的概率更大？

生：我觉得三种策略的可能性都是一样的，都是三分之一。

师：你的猜测非常大胆，谁还有不同的想法？

生：我觉得不一定是三分之一，因为策略三换门和不换门的概率是不一样的。如果你抛到正面，正面是不换门，反面是换门，那么换门的概率会更大一些。

师：你有不同的意见，你觉得这三个哪个是有问题的？

生：抛硬币。

师：那抛硬币的概率应该是多少？

生：我觉得抛硬币的概率应该是二分之一，硬币有两个面，随便抛一个就是正面或反面。

生：我认为三个都是二分之一，因为最后剩下的都是对换门和不换门这两种情况进行选择。

师：你们都很会猜想，三种策略赢得汽车的可能性分别是多少？怎么办呢？

生：就和原来解决抛硬币、摸乒乓球的问题一样，做个数学实验吧。

【环节点评】

每个人都有猜想的潜能，当一个人的思维被激活，迫切地想知道某个问题的答案时,往往都会先进行猜想，以满足自己求知的欲望。所以在抛出问题“哪种策略获得汽车的可能性更大”时,一下子就激发了学生的学习热情和积极性，让学生产生主动猜想的欲望。同时，教师创设了一个良好的课堂氛围，学生根据自己的理解提出猜想，在对话交流中拓宽了解决问题的视野，从而获得解题的思路，提出做数学实验的需求。我们也发现，在研究一个新的数学问题时，不可能总有先例可供参考，这时就需要大胆地发挥猜想，突破原有的桎梏，敢于实践求知。而宽松和谐的课堂氛围能使学生的思维活跃,多元、新奇的猜想才可能出现，点燃学生创新学习的火花。

（三）“哪种胜算更大”——经历实验过程，验证实验猜想

【教学片段三】

1.实验前制订实验规则。

师:既然要做数学实验那就应该有规则,你觉得要注意些什么?

生:主持人应做到保密、公平,不能提前泄露汽车在哪儿。

生:主持人自己要对汽车心中有数,随机选择汽车。

生:做实验时,实验的次数尽量要多一点,实验会更加准确。

师:我们是否要先确定小组成员,想一想小组成员有几人？

生:需要一个主持人和一个猜奖者。

师:除了主持人、猜奖者还可以增加，你们觉得还可以增加哪些成员？

生:观察员、记录员,帮忙记录结果和监督……

2.实验中需要注意的事项。

师：我们用三个纸杯代替三扇门，分别在纸杯底部写有“车”“羊”“羊”字样，反过来放在桌面上。在做实验过程中，还应该注意什么呢？请同学们观看一段模拟视频。

生：实验纸杯要一模一样。

生：不能在三个纸杯上做记号，否则会影响实验结果。

生：每次猜完，主持人要调换纸杯的位置，猜奖者要遮住眼睛不能偷看。

生：猜奖者心态要好，不要一个劲地想得到汽车，影响可能性大小。

师：是的，实验过程中，实验者的态度影响着实验结果，赢得汽车不是我们的最终目的，探究三种策略哪种获得汽车的可能性最大，才是我们的研究目的。我们用纸杯代替门，虽然研究条件简陋，但只要我们遵守实验规则，结果仍然有效。

教师介绍实验单使用方法。

2号实验单

实验换门策略赢得跑车的可能性 实验员（ ）

局次初选门号 调整门号 是否赢得跑车（是：√）1 2 3……

实验结果统计如下：

选中跑车次数总选择次数我们的发现：

师：考虑到策略3硬币容易滚落，所以建议采用投币策略的同学，可以多领一个纸杯，用手掌盖住杯口，充分摇动杯中硬币。

3.自由组合实验小组。

根据每个学生选择的最想参与的实验策略，调整学生座位，自由组合实验小组并领取实验材料。

【环节点评】

在实验探究过程中，我们设置了开放型的探究活动，即学生自己制订实验过程的注意事项，自主选择喜欢的一种策略做实验，自主确定同伴的人数和小组成员的分工，真正把课堂变成人人参与、个个思考的空间。在做实验过程中，每个小组的记录员及时记录猜奖者的实验结果，是获得羊还是汽车。选择不换门策略的小组会很快发现，当猜奖者做出第一个选择之后，主持人打开了山羊这扇门，猜奖者再次做选择这个环节其实是无效的，所以实验过程只需要前半程即可。选择换门策略的小组也会在实验中顿悟，第一次选择山羊的结果肯定是赢得汽车，山羊对应两扇门，所以赢得汽车的可能性大。这些实验的临场感悟，为学生更好地理解实验现象背后的缘由打下了基础。

（四）“为什么要换门”——比较辨析明理，探索实验缘由

【教学片段四】

1.借力实验数据，质疑猜想。

（学生进行汇报，汇报后师生一起统计总次数、选中次数，计算选中百分比）

师：请同学们比较一下我们最初的猜测和实验数据，你想说什么？

生：差得很多，换门的和抛硬币的两种概率。

师：你想说的是这两个数据比我们猜测的要高很多，是吗？

生：我们猜测是二分之一，但实际是32.5%，感觉有点奇怪。

师：也就是它和谁比较接近？三分之一。

生：我们一开始以为三种策略的概率是一样的，但是发现原来换门的概率最大，其次是抛硬币。

生：我发现其实换门和不换门的就是互补的，加起来是“1”，如果不换门的概率小那么换门的概率必然大。

师：现在这些实验数据出来了，你觉得准确吗？

生：可能不太准确。

图1 三门问题板书图

2.借力样本数据，完善猜想。

师：只凭这几组数据，我们能验证自己的猜想了吗？

生：我们做的实验次数还太少，实验结果可能还不够准确。

师：那现在我们就增加实验的次数，进一步验证猜想。（样本数据演示）

师：比较自己的实验结果和电脑软件大数据实验结果，你有什么发现？

策略1

策略2

策略3

3.借力合情推理，理解本质。

师：那么，为什么不换门的可能性是三分之一呢？

生：因为不换门中有三扇门可以选一扇，猜中的就只有一扇门，所以就是三分之一。

师：为什么换门的可能性是三分之二呢？

生：就是换门和不换门是互补的，一个是三分之一另一个就是三分之二。

生：第一种可能是羊、羊、车，二号门的可能是羊、车、羊，三号门可能是车、羊、羊。好，我们来看，如果第一次选中的是羊，主持人打开羊，我们选择的就是车。第二次选择的是车，主持人打开的是羊，我们换门选择的也是羊。第三次我们选择的羊，主持人打开的也是羊，我们换门就是车。这三种情况赢得汽车的概率就是三分之二。

【环节点评】

学生通过动手实验，样本数据分析和合情推理层层展开，步步深入，学生经历了猜想、实验、验证和推理的探究过程，从中挖掘“三门问题”所蕴含的奥秘，从而进一步建立“三门问题”的数学模型。从第一次对比最初猜测和我们的实验数据，学生惊奇地发现：三种策略的统计结果跟最初的猜想有较大的偏差，学生猜测换门和投硬币的概率都是二分之一，但实验数据比我们的猜测要高；第二次对比我们的实验数据和大数据实验数据，让学生感受到统计建模与一般的数学建模有所不同，它充满了很强的不确定性，我们需要尽力降低这种不确定性，尽量对这种不确定性进行量化。从而进一步启发学生，感性经验和猜想有时并不是很准确，猜想还需借助实验数据进一步验证，如果不动手实验，思维将会受到阻碍或发生错误，数学实验相当于给学生搭建了一副理解数学本质的“脚手架”。

四、教学反思

上数学实验课的目的是让学生在实验操作中不断积累“做的经验”“想的经验”，在此过程中体验数学、感悟数学，完成数学化的学习过程，触摸数学本质。上好一节数学实验课还要注意以下几点。

（一）素材选择需有度

“三门问题”是一个富有挑战性、有一定难度的数学问题，往往会给人们造成理解上的困惑，更何况是小学生。我们相信，只要找到一个合适的途径和方法，一些高等数学知识也可以让小学生进行理解。考虑到六年级学生有一定的概率知识储备，借助数学实验和合情推理，可以促进学生理解“三门问题”的解题策略。不过，我们也注意到一个现象，有部分学生虽然完成了教学流程，对学习材料也保持着浓厚的兴趣，但对和自我最初猜想差异较大的正确结果还会有一个理解的过程，我们要允许学生有自我调整的学习过程。

（二）学生猜想有引导

当学生出现猜想时,不能因为学生说不清缘由而指责学生“瞎猜”或“胡说八道”，而应该及时鼓励，适时表扬,容忍学生出现短暂的“忘乎所以”，久而久之，学生就不会有所顾虑,遇到新问题时便敢于猜想。在鼓励学生大胆猜想的同时，适时引导学生对其思路进行矫正，如果教师发现学生的猜想完全偏离轨道，可以适当追问或提供一些小建议，引导学生调整思路,重新分析,久而久之，学生猜想的方法越来越合理化，真正让猜想为学习所用，让猜想为课堂所用，猜想才更具有意义。

（三）实验组织重有效

在做实验前，如果“三门问题”游戏规则要求不明确、不到位，代替三扇门的三个杯子形状、颜色不一，实验者的心态，这些都会增加学生实验的难度，使得实验数据不够稳定，使一些学习水平和理解能力不足的学生产生困难，对大数据实验结果产生怀疑，白白浪费了宝贵的学习时间。又比如，有一些学生选择投币实验，可以提醒学生把硬币放入纸杯，杯口用掌心盖住摇动，可以让实验数据更准确。所以，教师在设计活动要求时应简要、明确，提供充分的实验时间，关注学生的实验进度、探究互动和辨析明理的过程。

（四）数学思考要充分

毋庸置疑，“三门问题”是集趣味和难度（与直觉相悖）于一体的，没有一定的思考和实验时间，只能沦为机械操作，无法获得实质性的思维提升。对游戏的理解也好，对实验规则的设计也好，还是实验过程，都应让学生手脑并用，注重培养学生边观察、边想象、边思考的习惯。可以采用“先做后想”或“先想后做”等方式，将观察与操作、想象与操作、想象与思考等结合起来，提高实验活动的质量。

课即将结束，学生还沉浸在“三门问题”的思考中，猜测如果是四扇门、五扇门或更多的门，同样的游戏规则，结果又会是怎样的呢？提出问题的学生还不断提出解决问题的新规则和方法。教师让学生给这节课取个题目，学生纷纷抛出：车羊问题、赢车问题、三门问题、三门风波等。正如一位学生所说的，从最初的猜想可能性是二分之一，到实验所得三个不同的数据，虽然知道了结论，但这个结论和猜想相差较大，心理好比过山车一样，经历了一场“三门风波”。可见，从研究三扇门的获奖概率问题，到研究四扇门、五扇门甚至更多的门的获奖概率问题，对学生而言，他们经历的是学习之旅，思维之旅，精神升华之旅。这就是数学实验课的魅力所在！