肖玉钢，王 峥，陈 华，喻守刚

(1. 长江空间信息技术工程有限公司(武汉)，湖北 武汉 430010； 2. 武汉大学测绘学院，湖北 武汉 430079)

20世纪90年代美国全球定位系统(Global Positioning System，GPS)的出现颠覆性地改变了人们生产、生活方式中的诸多方面，其成功更促使世界多个国家和组织纷纷研究与建设自主的全球导航卫星系统(global navigation satellite system，GNSS)。预计不久的将来地球上空将存在至少4个GNSS系统(GPS、GLONASS、Galileo和BDS)总计约100颗导航卫星为全球用户提供PNT(positioning,navigation and timing)服务[1]。多卫星导航系统并存的局面为进一步优化系统服务性能，拓展其应用空间提供了可能。相较于单一的GPS，多系统不仅可以扩展GNSS应用的地域范围，增加可见卫星数量和观测值类型，更能优化卫星几何构型，缓解高山、城市峡谷等对PNT用户的影响，进一步提升服务的可用性、精度和可靠性[2-6]。总之，多GNSS服务可以实现不同系统间的优势互补，有望大幅提升GNSS多项性能指标[7]。

目前多模GNSS数据处理多基于非差观测值甚至原始观测值进行[8-10]。已有研究证明，当采用最小二乘法进行参数估计时非差算法与双差算法是等价的[11-12]。但非差算法的精度直接取决于IGS等组织发布的卫星轨道、精密钟差等产品的质量。目前GNSS轨道的三维精度仅为厘米甚至分米级[13]，再加上普遍为纳秒级别的卫星钟差，非差算法在区域网或局域网情况下所得基线相对精度一般。此外，IGS等组织发布的精密轨道、钟差等产品存在最大约2周的时延。因此，在地质灾害预警、结构物形变监测、交通导航等对服务精度和时效性要求较高的领域，非差算法不能很好地满足需求。双差方法通过消除空间相关性误差，在基线较短时即使采用质量较低的广播星历也能实时得到高精度的解算结果。但在多模GNSS情况下，由于各系统载波频率的不同以及ISB(inter-system bias)、IFB(inter-frequency bias)等的存在，系统间双差模糊度不具备整周特性，不能直接在系统间构建双差观测值[14-16]，影响了多模GNSS的应用与推广。

针对上述问题，本文提出一种基于法方程叠加的多模GNSS双差算法。该方法在各系统内部单独构建双差观测值，经过先验初值统一、先验约束消除与添加，将各系统的法方程叠加，实现各类地学参数的联合估计。实测数据分析表明，该方法精度高、扩展性强、实施简单，可广泛应用于地壳形变监测、ERP参数估计、导航卫星轨道确定、地面控制网布设、结构物形变监测等领域。

1 基于法方程叠加的多模GNSS双差解算

各GNSS系统根据双差组合观测值形成法方程的过程在较多文献中均有涉及[17-19]，本文不再赘述，主要讨论各GNSS法方程先验初值统一、先验约束消除与添加及法方程叠加过程。

1.1 先验初值统一

构成法方程时各系统所采用的参数先验初值一致是进行法方程叠加的前提，否则需对法方程系统处理以统一先验初值[20]。

假设某系统在构建观测方程时以X1为初值，为进行法方程叠加需要将其初值转换为X0，且X0=X1+dx。以X0为初值的误差方程和法方程分别为

(1)

式中，v0为残差；B0为设计矩阵；N0为法方程矩阵；l0为误差方程常数项；b0为法方程右侧常数项；x0为以X0为初值时所对应的参数估值。

以X1为初值的误差方程和法方程分别为

(2)

式中,v1为残差；B1为设计矩阵；N1为法方程矩阵；l1为误差方程常数项；b1为法方程右侧常数项；x1为以X1为初值时所对应的参数估值。

由于参数估值与初值无关，因此

X=X0+x0=X1+x1

(3)

故

x1=x0+dx

(4)

当两套初值相差不大时认为两个法方程系统的设计矩阵B及系数矩阵N均相同。将式(4)代入式(1)和式(2)得

l0=l1-Bdx

(5)

从而

b0=BTPl0=BTPl1-BTPBdx=b1-Ndx

(6)

式中，P为观测值所对应权矩阵。

将式(6)代入式(1)得

Nx0=b1-Ndx

(7)

因此通过对法方程系统右侧常数项进行简单调整即可实现参数估计先验初值的统一。

1.2 先验约束消除与添加

GNSS数据处理过程中经常出现法方程秩亏现象，主要是因为待估参数较多且相互耦合，导致部分参数之间强相关。为获得准确可靠的平差结果，通常需要在法方程解算前根据外部信息对待估参数施加先验约束，并将约束信息转换为虚拟观测方程联系到法方程系统中[21]。为避免其对整体平差结果的影响，需在法方程叠加前消除各系统原有的先验约束信息。

假设原始观测方程与法方程分别为

(8)

式中，v为残差；B为设计矩阵；N为法方程矩阵；x为参数估值；l为误差方程常数项矩阵；b为法方程右侧常数项矩阵。

附加的先验约束以虚拟观测值的方式表示为

v=x-lc=x-(Xc-X0)

(9)

式中，X0为待估参数初值；Xc为待估参数先验约束值；lc为虚拟观测方程中的常数项。

则附加先验约束后的法方程系统为

(N+Pc)x=b+Pclc

(10)

式中，Pc为待估参数先验权阵。

通常情况下观测方程中待估参数初值取与先验约束值一致，因此式(9)中lc=0。式(10)可转化为

(N+Pc)x=b

(11)

先验约束消除是添加的逆过程。由上述推导可知，若施加先验约束后的法方程系统为

N′x=b

(12)

则消除先验约束后的法方程为

(N′-Pc)x=b

(13)

一般在法方程叠加之后需要对整体法方程重新施加先验约束以解决秩亏问题。这一过程可根据式(11)进行。

1.3 法方程叠加

在统一各法方程系统中待估参数的先验初值并消除先验约束后可进行法方程叠加。

在考虑轨道改进的情况下(其他情况类似)，假设基于GPS双差观测值构成的法方程为

(14)

基于BDS双差观测值构成的法方程为

(15)

不同法方程系统中通常含有相同的参数。如在式(14)和式(15)中测站坐标、对流层延迟和ERP参数是相同的。因此在叠加法方程时需进行参数合并。由式(14)和式(15)为例可得叠加后的法方程系统为

(16)

在参数估计结束后要评价参数估值结果的精度。单位权中误差是精度评定的重要指标，其无偏估计可表示为

(17)

式中，σ0为单位权中误差；n为观测值数量；t为待估参数数量；VTPV为验后残差加权平方和，可表示为

(18)

根据式(16)和式(17)即可实现基于法方程叠加的多模GNSS观测值双差解算。

2 数据分析

为验证基于法方程叠加的多模GNSS双差算法的有效性，本文搭建了模拟变形平台，利用实测数据从内、外符合精度等多个角度出发对结果进行了分析。数据处理平台由GAMIT改编得到，可利用GPS/BDS单双模数据实现测站位置、卫星轨道、ERP参数等的联合估计。

2.1 观测数据

试验利用GPS、BDS双模数据。采用的仪器为Trimble NetR9型接收机，天线型号为TRM29659.00。共布设3个测站(JZ01、JC01、JC02)，位于中国中部某城市。所有测站均为土层观测墩，高出地面3 m。其中JZ01站基座深8 m，为钢筋混凝土结构;JC01、JC02站基座深3 m，为钢结构。各测站视野开阔，高度角10°以上基本不存在遮挡物。测站间基线长度见表1。3个测站均配备有强制对中标志。另外JC02站装置有精度测试系统，可以通过旋转螺栓使接收天线在水平和垂直方向上精确移动，精度优于0.1 mm。

表1 测站间基线长度 m

本次试验采集了从2014年8月5日至9月3日(年积日217～246)共30天的数据，采样间隔30 s，截止高度角10°。数据采集过程中JC02的位移见表2。为满足变形监测较高的精度需求，本文采用时段解模式，时段长4 h。

表2 试验平台位移量 mm

2.2 结果分析

为分析变形结果的内符合精度，本文对JZ01—JC01基线30 d的数据进行了解算。重复性统计结果见表3。

表3 不同星座组合基线重复性比较 mm

由表3可知，与单GPS相比，单BDS解算精度稍低，尤其在U方向。本文推测这是由目前BDS尚未实现满星座运行引起的。现有BDS工作卫星星座构型较差，造成单BDS结果精度较低。另外，BDS解算中存在未改正或改正不完善的系统误差，如PCO、PCV等，也影响BDS解算精度。此外，需要注意的是，GPS/BDS双模解算结果优于单BDS结果，但与单GPS相比并无明显提升。本文认为除了BDS解算存在上述问题外，还由于本试验基线较短，单GPS解算结果精度已经相当高，给GPS/BDS双模解算留下的提升空间有限。

为分析解算结果的外符合精度，本文统计了JZ01—JC02基线在试验平台调整前后各测段各分量双模解算结果的较差，其中基准值采用JC02测站未调整时所对应的基线向量，结果如图1所示。由于每天9：00(北京时间)左右调整变形监测试验系统的位移量，因此舍弃第一个时段(8:00—12:00)的数据，每天只统计5个时段的结果。

由图1可知，对于3 mm的变形，无论发生在水平方向或高程方向均可轻易识别。当变形为2 mm时，水平方向仍可轻易识别，但高程方向的较差已不太明显。进一步，当变形量为1 mm时，水平方向仍可以分离出此变形，但高程方向的基线分量较差表现出较大的随机性，已不足以提供明确的变形信息。因此，结合本节上述对基线内符合精度的讨论，认为基于本文所提出的多模算法和搭建的数据处理平台，本试验可达到水平1 mm、高程2 mm左右的监测精度。

图1 试验平台调整前后各测段基线分量较差

3 结 论

随着目前BDS、Galileo等GNSS系统建设的稳步推进，多模GNSS数据处理方法与应用的研究已成为卫星导航领域的热点。本文主要分析了基于法方程叠加的多模GNSS双差算法。通过实测数据分析与讨论，得到如下结论：

(1) 在本文试验中，与单GPS相比，单BDS精度稍低，尤其在U方向。推测主要由目前BDS尚未实现满星座运行引起，以及BDS也存在部分未改正或改正不完善的系统误差，如PCO、PCV等。

(2) GPS/BDS双模解算结果优于单BDS，但与单GPS相比并无明显提升。除BDS还存在部分问题外，也由于本试验所用基线较短，单GPS解算结果精度已经较高，GPS/BDS双模解算结果精度的提升空间有限。

(3) 通过变形监测试验平台的分析结果发现，基于法方程叠加的GPS/BDS多模双差算法在短基线条件下能够达到平面1 mm、高程2 mm的精度水平，满足大部分变形监测工程的需要，可以在生产实践中推广应用。