周桂兰，朱 宁，农以宁

（桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004）

0 引言

离散型分布中最为重要的一种分布是几何分布，该分布不仅在可靠性和应用概率模型中占据很重要的地位，而且在信息工程、控制论以及经济学中也得到了很大的重视和应用。文献[1，2]讨论了熵损失函数下几何分布可靠度的Bayes估计；文献[3]和文献[4]分别在Q-对称熵损失函数和复合Linex对称损失函数下得到了几何分布的可靠度Bayes估计和多层Bayes估计，并讨论了他们的可容许性；文献[5]和文献[6]则分别是在一类非对称损失函数和一类新的加权平方损失函数下研究几何分布可靠度的先验分布分为无信息和共轭先验分布两种情况下的Bayes估计问题；文献[7]在熵损失函数、最小预期损失函数、Linex损失函数下，得到了定时截尾情形两参数几何分布的可靠性Bayes估计。

在贝努里试验中,设 p为每次试验成功的概率（可靠度），若进行了x+1次试验，前x次试验成功但第x+1次试验不成功的概率为：

则称随机变量X服从几何分布,其中参数 p(0＜p＜1)称为可靠度。

本文将在Mlinex损失函数下研究几何分布（1）可靠度的Bayes估计、E-Bayes估计和多层Bayes估计问题。

1 可靠度p的Bayes估计

定义1[8]：Mlinex损失函数的表达式为：

其中δ是未知参数p的判别空间的一个估计。如当c＞0时，它可以很好地刻画正的偏差引起的损失高于负的偏差引起的损失。结合本文所讨论的分布，下文假设c＞0。

定理1[8]：设 x=(x1，x2，…，xn)来自分布（1）的一个简单随机样本，若在空间中存在参数 p的估计量δ，其Bayes风险r(δ)＜+∞，则对 p的任何先验分布π(p)，在损失函数（2）和模型（1）下，参数 p有唯一的Bayes估计：

考虑几何分布可靠度p的先验分布为其共轭分布—Beta分布的情况，其密度函数为：

当b=1和a＞0时，π(p|a，b)仍然是 p的单调函数，此时的分布称为幂分布，其密度函数为：

其中0＜p＜1，a为超参数，且a＞1。

定理2：若几何分布的先验分布具有超参数a和b的Beta分布（4），则它的Bayes估计为：

证明：对几何分布，在无失效数据情形下样本的似然函数为L(p)=px(1-p)，若其先验分为Beta分布，则后验密度函数为：

由定理1可知，它的唯一的Bayes估计为：

证毕。

引理1[9]：在给定的Bayes决策问题中，假如对给定的先验分布π(p)的Bayes估计是唯一的，则是可容许的。

推论1：在给定先验分布（4）和损失函数（2）下，参数 p的Bayes估计是可容许的。

证明：取w=1,c=2,c=3,c=4,Mlinex损失函数的图像如图1所示：

图1 Mlinex损失函数图

由图1可知在Mlinex损失函数中，δ关于参数p是严格凸函数，因此其Bayes估计必是唯一的，又由引理1可得，Bayes估计δ^B1是可容许的。

定理3：若几何分布的先验分布为式（5）中的幂分布，则它的Bayes估计为：

证明：对几何分布（1），由于它的似然函数为L(p)=px(1-p)，因此p的后验密度函数为：

故其后验分布服从Beta分布，即：

h(p|x)~B(a+x，2)

由定理1可得，在损失函数（2）下的Bayes估计为：

其中：

证毕。

推论2：在损失函数（2）和几何分布的先验分布为（5）的情况下，其Bayes估计δ^B2是可容许的。

证明过程如推论1。

2 可靠度p的E-Bayes估计

引 理 2[10]：设 (a，b)∈D ，(a，b) 是 连 续 的 ，称为参数 p 的E-Bayes估计，其中 是存在的，D={(a，b):0＜b＜1，1＜a＜m，b∈ℝ}，m＞1为常数，π(a，b)是a和b在区域 D 上的密度函数，(a，b)为 p的Bayes估计（用超参数a和b表示）。

定理4：对几何分布，参数 p的先验分布为Beta分布，若超参数a和b的先验密度分别为：

则相应的参数p的E-Bayes估计为：

证明：对几何分布（1），参数 p的先验分布为Beta分布，若超参数a和b的先验密度为式（6），则 p的E-Bayes估计为：

同理，若超参数a和b的先验密度为式（7），则 p的E-Bayes估计为：

类似地，若超参数a和b的先验密度为式（8），则 p的E-Bayes估计为：

引理3[9]：设 a∈D ，(a)是连续的，称(a)da为参数 p的E-Bayes估计。其中在的，D={a|1＜a＜0，a∈ℝ}，m＞1为常数，π(a)是a在区间参数 p上的密度函数为参数 p的Bayes估计。

定理5：对几何分布，参数p的先验分布式（5）的幂分布，若a在区间D的先验密度分为均匀分布，其密度函数为π(a)=1,1＜a＜m，参数 p的E-Bayes估计为：

m-1

3 可靠度p的多层Bayes估计

若参数p的先验密度函数π(p|a，b)由式（4）给出，a和b的先验密度函数 π1(a，b)， π2(a，b)， π3(a，b)分别由式（6）、式（7）和式（8）给出，则参数p的多层先验密度函数分别为：

定理6：对几何分布（1），若参数p的多层先验密度函数为 π4(p)，π5(p)，π6(p)，则在Mlinex损失函数下，参数 p 的多层Bayes估计为：

证明：对几何分布，参数 p的似然函数为L(p)=px(1-p)。

（1）若 p的多层先验密度函数为π4(p)，则 p的多层后验密度函数为：

则在Mlinex损失函数下，参数 p的多层Bayes估计为：

（2）同理，若 p的多层先验密度函数为π5(p)，则 p的多层后验密度函数为：

则在Mlinex损失函数下，参数 p的多层Bayes估计为：

（3）类似地，若 p的多层先验密度函数为π6(p)，则 p的多层后验密度函数为：

则在Mlinex损失函数下，参数 p的多层Bayes估计为：

证毕。

引理4：若参数 p的密度函数由π(p|a)=apa-1给出，取超参数a的先验分布为U(1，m)上的均匀分布，则 p的多层先验密度函数为：

定理7：对几何分布（1），若 p的多层先验密度函数π(p)由式（9）给出，则在Mlinex损失函数下，参数 p的多层Bayes估计为：

证明：对几何分布，无损失数据样本的似然函数为L(p)=px(1-p)，若 p的多层先验密度函数π(p)由式（9）给出，则参数 p的多层后验密度函数为：

其中，0＜p＜1，则在Mlinex损失函数下，参数 p的多层Bayes估计为：

证毕。

4 可靠度p的Bayes估计的性质

性质1：对几何分布，在Mlinex损失函数下，当可靠度p的先验分布为Beta分布时，若a，b，c的值为一个定值，则对任意m有：

证明：对几何分布，当可靠度 p的先验分布为Beta分布时，在Mlinex损失函数中，若a，b，c的值为一个定值，则是一个数值。同理若在几何分布中，实验的次数x、Mlinex损失函数的参数c取定时，B(a+x，b+1)，B(a+x-c，b+1)也是一个数值。

（1）在几何分布中，在相同的实验次数x下，若a，b，c的值为一个固定的数值，记Δ1=B(a+x，b+1),Δ2=B(a+x，则由定理4可知：

即：

（2）同理在几何分布中，若a，b，c的值为一个固定的数值，记 Δ1=B(a+x，b+1),Δ2=B(a+x-c，b+1),Δ3=B(a，b)，则结合定理6可得：

同理，

（3）由式（1）和式（2），结合定理2可知：

证毕。

性质2：对几何分布，在Mlinex损失函数下，当可靠度p的先验分布为幂分布时，若a，c的值为一个定值，则对任意m有：

证明：对几何分布，在Mlinex损失函数下，若a，c的值值。设Φ=，由定理5可知，当可靠度 p的先验分布为幂分布时，参数p的E-Bayes估计为：

证毕。

5 实例

利用蒙特卡洛方法模拟容量为n的服从几何分布(1)的简单随机样本N=1000次，以损失函数中c=2，3，4，5，6为例。对每种情形，p的先验分布都取B(1.5，0.5)，样本容量分别取10,50,100,1000，由定理2、定理3和定理5计算可靠度先验为贝塔分布和幂分布下的Bayes估计、多层Bayes估计，结果如表1所示。其中在Mlinex损失函数下，B1为可靠度先验为贝塔分布的Bayes估计，B2和HB为可靠度先验为幂分布的Bayes估计和多层Bayes估计，B-为不同先验的Bayes估计的差。

表1 可靠度Bayes估计

从表1可以看出随着样本容量n的增大，不同先验分布估计下的Bayes估计的极差在逐渐减小，c的取值对估计的影响变小，可靠度越稳健；对Mlinex损失函数下的不同参数的c，几何分布的先验分布为贝塔分布或幂分布下的估计值都是稳健的；对于损失函数中相同的参数c，可靠度p的bayes估计、E-beyes估计、多层bayes估计的值都比较接近，当样本容量较小时可靠度p的bayes估计和多层bayes估计的值相差较大，但随着n的增大，几个估计的差值在逐渐减少，当样本n足够大时，两者的差距可以忽略不计。

为了判断先验分布的参数对估计的影响，本文计算出N=100，c=3，a=0.5~2.5,b=0.1~0.9下的先验分布为Beta分布Bayes估计，结果如表2所示。

从表2可以看出,当Mlinex损失函数的参数c=3时，若参数a不变,改变参数b的值，此时几何分布的Bayes估计的极差较小，偏差区间在[0.005152，0.005254],说明先验分布的参数b对几何分布可靠度的Bayes估计有一些影响，但是影响不大；当参数b的值不变时，改变参数a的值，从几何分布的Bayes的估计上看，参数a对Bayes估计的影响很小，几乎可以忽略不计。综上可知，几何分布可靠度p的Bayes估计比较稳健。

表2 先验分布为Beta分布的Bayes估计

6 结束语

本文在Mlinex损失函数下推算出了几何分布可靠度的Bayes估计，验证了它的容许性和唯一性，根据定义推算其E-Bayes估计和多层Bayes估计，并讨论了几何分布的先验分布为贝塔分布和幂分布下Bayes估计、E-Bayes估计和多层Bayes估计的性质。由实证分析可以看出，从具体数值演算结果可看出，随着样本容量的增大，几何分布的先验分布为贝塔分布和幂分布下的Bayes估计值的差距逐渐减少。当样本N足够大时，两者的差距可以忽略不计，参数a，b对估计的影响较小，并且估计的值具有较好的稳健性。