☉江苏省南京市行知实验中学 吴发继

中考一轮复习时，课堂教学主要以复习课为主，切实提高复习课的课堂效率，是教师一直关注和追求的.目前许多学校在中考一轮复习时，都有统一的学案，但学案在编写时并不能完全照顾到每个班级的学情，题目的选择无法兼顾所有学生.有一部分教师上课时完全照搬学案，不顾学情，另一部分教师考虑到本班的学情，随便增删题目，没有关注到复习课的更高要求，这样长期下来，无法调动学生的积极性与主动性，课堂效率不高.下面笔者就以一节市中考一轮复习公开课“一次函数的应用”为例，从知识框架构建、关注热点考点、总结解题方法、渗透思想方法、提升思维能力、落实核心素养方面做一些尝试，不当之处，敬请赐教.

一、教学背景

1.内容解析

函数是中学数学中极为重要的概念，函数是数量化地描述运动变化现象的重要数学模型.一次函数是一种较为简单的线性函数，是中考非常重要的考点，南京市中考试卷中每年必考一次函数的应用，主要以图像的形式出现，以考查s-t、v-t图像为主，特别是s-t图像，出现的频数较多，主要考查函数图像的信息提取、一次函数的图像、一次函数表达式的确定，以及一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容.在解决此类问题时，根据题意和图像确定一次函数模型是前提，然后利用图像和线性示意图分析运动变化的过程是关键，最后根据函数与方程的关系解决问题.

2.学情分析

一次函数是“数与代数”中的重要内容，是中考必考考点.九年级学生已经系统学习过函数的相关知识，以及方程、不等式等知识，大部分学生知道研究函数的一般方法，会用待定系数法和数量关系法确定函数表达式，具备对具体问题中变量间关系进行初步分析的能力和解决一般问题的能力.本节课所授班级的学生层次中等，有部分学生对图像的认识不够深刻，从图像中提取的信息有时还不够准确、完整，特别是对如何利用图像中的关键点解决问题还不够清楚，对学生来说，“从数到形”比较容易接受，但还不太习惯“从形到数”这种逆向思维，往往难以把握数与形的转化.另外，部分学生对如何用函数模型解决实际问题还不够清楚，因此，要通过对具体问题的分析，让学生进一步感受数形结合、数学建模、转化、函数与方程等思想方法，让学生在分析和解决问题的过程中，自主判断和选择不同的策略，体会如何建立一次函数模型，准确求出一次函数的表达式，以及如何利用函数图像及相关知识解决实际问题，提高学生解决问题的能力，落实核心素养.

二、教学目标

（1）能根据实际问题中变量之间的数量关系，确定一次函数的表达式；

（2）在表格和图像问题中，能用待定系数法确定一次函数的表达式；

（3）能通过观察图像或表格，了解图像或表格中蕴含的信息，并能对函数关系进行简单分析；

（4）能将简单的实际问题转化为数学问题（建立一次函数模型），从而解决简单实际问题；

（5）在用—次函数解决表格和图像问题的过程中，进一步感受建模思想和数形结合思想.

三、教学重点、难点

重点：（1）能根据实际问题中变量之间的数量关系，确定一次函数的表达式；

（2）在表格和图像问题中，能用待定系数法确定一次函数的表达式；

（3）能用一次函数解决表格和图像中的问题.

难点：能用一次函数解决行程问题中的相距问题及准确画出s-t图像，并在解决问题中进一步感受建模和数形结合思想.

四、教学过程

环节1：课前热身

（1）某种矿泉水，每瓶2元，总销售额y元与售出瓶数x之间的函数表达式是_________.

（2）给汽车加油的加油枪流量为25L/min.如果加油前油箱里有6L油，那么在加油过程中，用yL表示油箱中的油量，xmin表示加油时间，则y与x之间的函数表达式为______.

（3）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择.如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具.设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具.则y与x之间的函数表达式是______.

（4）小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离ykm与离家时间xmin之间的对应关系如图1所示，如果小明在图书馆看报30分钟，求他离家50分钟时离家的距离是多少.

图1

设计意图：安排四个练习，主要复习用数量关系法和待定系数法确定一次函数的表达式，并能用函数知识解决简单实际问题，总结考点.

环节2：典型例题

例1点燃一支蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y（cm）是蜡烛燃烧的时间x（min）的一次函数，观测结果如表1：

表1

（1）求y与x之间的函数表达式；（追问：请你画出该函数的草图）

（2）这支蜡烛多长时间燃尽？（追问：还有其他方法吗）

设计意图：问题（1），进一步复习一次函数的表达式的确定方法：数量关系法和待定系数法.追问的目的：（1）复习画草图的一般步骤，并能注意到画图时要注意自变量的取值范围；（2）为第（2）问的解决提供两种方法，一是能通过图像解决，二是能运用函数与方程思想解决，体现数形结合和函数与方程思想.进一步回顾函数的三种表示方法，学生能进一步感受三种方法的相互转化，总结用函数解决问题的方法和思路.

例2小东从A地出发以某一速度向B地走去，如图2所示的线段表示小东离B地的距离y1km与所用时间xh的关系.

（1）根据图像，你能得到哪些信息？你觉得这些信息能解决什么问题？

（2）求y1与x之间的函数表达式；

（3）求A、B两地之间的距离.

图2

设计意图：设置一个开放性的问题，激发学生学习的兴趣，进一步发展学生的发散性思维能力，入口低，易上手，符合学生的学情，以学定教，并考查学生观察图像、分析图像的能力，进一步提高学生运用图像上的点的信息解决问题的能力，感受数形结合思想，落实核心素养.

拓展延伸：小东出发的同时，小明从B地出发沿同一条路匀速向A地走去，经过2.5h走了7.5km.

（1）在同一坐标系中画出小明离B地的距离y2km与所用时间xh的关系的图像，用文字说明点P所表示的实际意义.

（2）小明出发多长时间后，两人相距10km？

（3）设两人相距S千米，在直角坐标系中画出S关于x的函数图像（标出相关数据）.

设计意图：增加一个图像，考查学生能根据题意准确分析数量关系、画出图像，并能理解图像中关键点的实际意义和自变量的取值范围，也和例1中画草图前后呼应，考查学生解决问题的能力.问题（2）考查学生观察图像、分析图像，并能运用数形结合思想解决问题的能力.问题（3）考查学生对于新给变量S与x的关系，结合线性示意图，找到关键节点，准确画出图像.

环节3：学习反馈

（1）为了解某种品牌汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成表2：

表2

①根据表2中的数据，请写出Q与t之间的表达式；

②汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少？

设计意图：巩固运用表格，根据数量关系，建立模型，进一步巩固确定函数的表达式的方法，并能运用函数知识解决问题.

（2）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路.小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间.假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进.已知小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km.设小明出发xh后，到达离甲地ykm的地方，图中的折线O—A—B—C—D—E表示y与x之间的函数关系.

图3

①小明骑车在平路上的速度为_____km/h，他途中休息了______h；

②求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数表达式；

③如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？

设计意图：巩固观察图像、分析图像及从图像中提取信息的能力，进一步巩固确定函数的表达式的方法，并能运用函数知识解决问题.第③问有一点难度，考查学生正确理解题意，并能运用所学知识解决问题的能力.并能和例2中的相距问题形成呼应，总结时间差和路程差的两种情况，并总结解决此类问题的方法.

环节4：课堂小结

在本节课的学习中，你对哪些知识的学习印象较深刻？

设计意图：（1）回顾本节课的内容，梳理知识脉络，总结考点与解题方法；（2）感受本节课中的数学思想方法.

图4

五、教学反思

1.选好题材，构建网络

复习课不是简单的重复，中考一轮复习课的首要任务是回顾知识点，构建知识网络.对于中考一轮复习课，学生对所复习的知识，要么遗忘，要么是一些零散的知识，没有形成网络，更不能从整体上认识所复习的知识.在备课时，教师需要深入研究，整体认识所复习的内容，精心选题.本节课通过精心选题，设置问题串，将所学各个知识点构建成知识网络，学生的思维也得到再一次发展与生长.

本节课从课前热身开始，4个练习题难度适中，复习确定一次函数的表达式的两种方法：待定系数法和数量关系法，以及复习利用一次函数解决实际问题.两个例题定位清晰，层次分明，难度拾级而上.例1以生活中的问题为背景，以表格的形式呈现变量之间的数量关系，第（1）问，确定函数表达式，追问试画草图，进一步感受函数三种表示方法之间的转化；第（2）问，学生解决问题的方法多样化，可以利用图像，可以利用函数表达式，也可以利用数量关系解决.例2设置三个基本问题，然后拓展三个问题，难度逐渐提升.通过课前热身和两个例题的复习及反馈练习的训练，以点带面梳理了一次函数应用基本主线和知识框架图，这样学生通过一节课的复习，清晰地知道了一次函数应用中的基本知识，并能感受知识间的普遍联系，形成知识框架，感受数学的整体性，学生不仅见了树木更感受到整个森林.

2.关注考点，总结方法

中考一轮复习，时间紧，任务重，如何在有限的时间内，上好复习课，选题是关键，考点是方向，方法是根本，只有把握好一次函数应用的考点，选题才有方向，然后总结出解决问题的一般方法.个人认为，一次函数的应用有这样几个关键考点：（1）能通过观察图像或表格，了解图像或表格中蕴含的信息，并能对函数关系进行简单分析；（2）能用数量关系法或待定系数法确定一次函数的表达式；（3）能将简单的实际问题转化为数学问题（建立一次函数模型），从而解决简单实际问题.一次函数应用中，行程问题是较为常见的题型，考查行程问题，主要以图像的形式出现，主要考查s-t、v-t等图像，其中因变量y的实际意义常表示距离，主要有三种：（1）表示与出发地的距离；（2）表示与目的地的距离；（3）表示两运动物体之间的距离［1］.

例2以s-t图像呈现，设置六个问题，前三个问题较为基础，重点关注基本考点.第（1）问设置一个开放题，让学生观察图像，说出能得到的信息，并说说这些信息能解决什么问题，为后面解决问题做铺垫；第（2）问再次总结确定一次函数的两种方法，也有学生利用速度与比例系数k的关系，先利用图像中的信息，分析题意，求出速度，然后确定k，再用待定系数法确定函数的表达式，优化了计算，准确率大大提高.拓展的三个问题，层次分明，重点考查两个内容：（1）已知两车距离，求时间；（2）增加新的变量.这两个问题对于一般学生而言都是难点，要突破难点，可以从以下几个方面出发.对于第（2）问，学生可以画出线性示意图，找到相等关系，然后利用方程解决；也可以直接在图像上大概标出两个不同的点，然后利用y1-y2=10和y2-y1=10解决，这就是用函数的本质体现，但运用此方法，也可能遇到特殊问题时，有多种情况.不管哪种方法，关键在于找到相距10km的相等关系.对于第（3）问，可以从两个方面入手.（1）分三个阶段画出线性示意图，即相遇前，y逐渐变小，相遇后，y逐渐变大，若有一车先到，另一车继续行驶，这时y逐渐变大，但变大的趋势变缓，直到另一辆车到达终点.（2）把握好关键点：从开始行驶到相遇，从相遇后直到两辆车到达，利用所给数据算出几个关键点的坐标.

数学活动是课堂教学的关键，问题是数学的心脏，以问题驱动来组织教学活动，通过问题来引领学生思维发展；通过问题来总结考点，让学生明白一次函数的应用到底要掌握哪些考点，掌握到什么程度；通过问题设置与问题解决总结解题方法，积累解题经验，让学生理解解决问题的通性、通法，并能一以贯之.

3.渗透思想，提升思维

数学课堂教学其实是数学知识和数学思想方法的教学，《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法更高层次的抽象与概括.本节课是一节中考复习课，不但要构建知识网络，梳理一次函数应用的相关考点，还要注重培养学生的能力与思维，更要渗透数学思想.

本节课设置的问题有：求函数的表达式、蜡烛燃烧的时间、AB两地的距离、已知两车的距离求运动的时间、给出新变量画出函数图像等常见常考问题，而解决这些问题主要应用数形结合思想，以数助形，以形研数，从而使问题得到解决.如小明出发多长时间后，两人相距10km，学生可以通过图像中点的位置，转化为y1-y2=10和y2-y1=10来解决；学生也可以画出线性示意图，找到相等关系，运用方程来解决.例题、练习题的问题设置，都有求出函数的表达式，然后解决问题.学生根据题意，找到数量关系，建立一次函数模型，然后用函数表达式解决问题，体现了模型思想.本节课中部分问题的解决还运用了函数与方程、转化等思想方法.数学思想是数学知识和方法更高层次的抽象与概括.学生在解决问题时可能不会想用什么思想方法解决，但在解决问题过程中，无形地渗透了数学思想方法，教师在总结过程中，要让学生充分感受数学思想方法的魅力.复习课要解决的不是一两道题的问题，而是一类题的问题，学生在解题过程中运用的方法、蕴含的思想才是解题的根本.

4.问题解决，落实素养

数学教学活动应以想象为先导，以抽象、推理和建模为主干，以发现数学规律、解决数学问题为旨归.核心素养应是数学教学的导向，也是我们构建数学框架的基本要素［2］.一轮复习课不仅要复习相关的知识，还要教会学生如何解题.解题能力的培养是一个逐步形成和发展的过程.本节课对于学生所解决的每一道题，都离不开核心素养的落实.

从图像中提取信息、利用图像解决问题、画出S关于x的函数图像、构建知识网络，这些问题的解决都有助于学生数学抽象素养的提升；根据距离差求时间及根据时间差求距离问题，这些问题的解决都有助于学生逻辑推理素养的提升；再者，本节课多次要利用一次函数解决实际问题，如蜡烛燃烧的时间，油箱中剩余油量等，这些问题的解决都有助于学生数学建模素养的提升.

六、结束语

教学有法，教无定法，中考一轮复习课，不仅要回顾知识，构建知识框架，还要关注核心考点、总结解题方法，更要在解决问题的过程中，渗透思想方法、提升思维能力、落实核心素养.本节课通过精心选题，设置问题串，不断激发学生思考，在解决问题的过程中充分感受知识间的联系和中考热点考点，对一次函数的应用也有了整体性的把握.本节课数学教学活动中，问题设置层次分明，不断深入，学生在解决问题的过程中，积累了解题经验，总结了解题方法，感受了数学思想方法，发展了思维能力，提升了核心素养，从而提高了复习课的有效性.