湖南师范大学数学与统计学院 (邮编：410081)

图1

题目如图1，四边形ABCD为正方形，E、F分别为AD、BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

本题主要考査直线与平面垂直、平面与平面垂直的概念、性质及判定方法，以及直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考査化归与转化思想，难度适中.对于这道题第(1)问，考査面面垂直的判定，比较简单，属于送分题.本文主要研究第(2)问，从不同知识的联系出发，给出多种解法.

解析(1)要证明面面垂直，首先想到面面垂直的判定定理，由线线垂直→线面垂直→面面垂直.题目中出现中点，目的就是要利用中位线的性质，据此思路，可得下列解法：

由E、F分别为AD、BC的中点，可得EF∥AB，故BF⊥EF,同时已知BF⊥PF,所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

(2)本小问的解法多，思路宽，下文中将给出一些有代表性的解题思路.传统的解法有: 定义法和坐标法，首先介绍定义法．

为了解题的方便，先设正方形ABCD的边长为2.

I定义法

图2

如图2所示，过P作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得PH⊥平面ABFD，故∠PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角.

解法1(勾股定理)由(1)知，DE⊥平面PEF,因此DE⊥PE.设PH=x,则

定义法，也称几何法，解题过程中经常要引入辅助线和回忆大量的几何定理公理，对学生的空间想象能力和逻辑推理能力要求较高.对于本题，运用定义法的关键在于找出直线DP与平面ABFD所成的角，并构造三角形.其中，求出点P到平面ABFD的距离是至关重要的得分点，如前所述，对于PH的求法是……