山东省淄博市周村区城北中学 (邮编：638400)

众所周知，中考试题的命制对初中数学教学具有一定的导向意义，将课本上的某些典型例题、习题改编为中考题，是近年来各地中考命题时较为普遍的一种做法.这也就引导广大一线教师要关注教材，用好教材，用活教材，书中自有“考题目”，书中自有“解题术”，书中自有“言如玉”.因此，对教材例习题的分析和拓展，在教学上就显得十分重要.下面结合自己对鲁教版教材习题设计的实践，与大家交流探讨.

1 立足教材，研透典型例题，提炼通性通法

图1

案例1(鲁教版数学教材七年级下册128页例3)如图1，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.

(2)求证：AB=AC+CD.

本题第1问比较基础，考察了角平分线的性质，下面重点谈一下第2问给自己的习题设计启示.教材中的解答是这样的：在直角三角形ACD和直角三角形AED中，因为CD=DE,AD=AD,所以△ACD≌△AED(HL)，即AC=AE.

因为BE=DE=CD，所以AB=AE+BE=AC+CD.

图2

在平时的教学中，这道例题是不是到这里就结束了呢？我想还没有.本题是初中阶段例题中第一次出现线段和差的问题，对于解决这类问题的基本方法是截长补短，在教学时要让学生充分思考，教材介绍的是截长法，教师要引导学生建立补短法，形成解决这类问题的基本思路.如图2，延长AC到点F，使CF=CD，连接DF.△DCF为等腰直角三角形，易得△ADF≌△ADB，同样可证得AB=AC+CD.

至此，对于解决线段和差问题的基本方法让学生进行了初步感知，但如何让学生能够融会贯通，真正掌握解决这类问题的方法，我们可以对该例题重新设计.如图3，在△ABC中，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，AB=AC+CD，求∠ACB.

图3

思路简析1如图3，在AB上截取AE=AC，连接DE,证△ADE≌△ADC，因为AB=AC+CD，易得DE=EB，所以∠B=∠EDB，即∠ACB=2∠B，由三角形内角和，∠ACB+2∠B=180°，所以∠ACB=90°.

思路简析2如图3，延长AC到点F，使CF=CD，连接DF，因为AB=AC+CD，所以AB=AF，证△ADB≌△ADF，所以∠B=∠F，即∠ACB=2∠B，由三角形内角和，∠ACB+2∠B=180°，所以∠ACB=90°.

中考数学试题的形式和知识背景可能会千变万化，但其中运用的数学思想方法却往往是相同的.我们来看2016淄博中考试题23题的第3问.

图4

(1)求a的值；

(2)当O、Q、M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；

(3)当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．

图5

教学启示人民教育出版社的章建跃博士说：“通性就是概念所反映的数学本质，通法就是概念所蕴含的思想方法.”因此笔者认为通性通法就是运用数学的通用性质去解决问题的通用思想方法.作为一名一线教师，平时听了大量的课堂教学，现在很多教师在讲解题目时，经常给学生介绍很多的方法，尤其是一些很巧妙的方法，即简单又快捷，但往往这些方法不能通用，当学生以后碰到类似的题目时还是束手无策，因此我们在进行教材题目的处理时，要给学生讲清通用的方法，解一题通一类，这样效率就会明显提升.

2 立足教材，善用基本模型，探究发现问题

图6

案例2(鲁教版数学教材八年级上册126页想一想)如图6，已知直线l∥AB，点P1、P2、P3都在l上，△ABP1，△ABP2，△ABP3的面积是否相等？为什么？

本问题是教材中的平行等积模型，在我们的教材中存在许多基本的数学模型，平时教学中，教师要充分研究教材，为学生搭建模型、应用模型创造条件.在初次的复习时，设置了3个小问题，循序渐进，层层提升，让学生经历了建模、用模的过程.

图7

问题1如图7-①，若直线a∥直线b，则S△ABC=S△DBC，

若S△ABC=S△DBC，则直线a∥直线b

图8

图9

图10

教学启示本案例基于教材中的一个非常经典的数学模型，引导学生正向和逆向两个角度来进行运用，从而对反比例函数的一个重要性质进行了探究，提高了学生探究数学问题的能力.在平时的教学中，教师要善于利用教材中的基本模型，遵循学生的“最近发展区”原则，把握好度，分层设计，由浅到深，由易到难，逐步对问题进行深入探究.数学教育家波利亚说过：“ 一个专心认真备课的教师能够拿出一个有意义的，但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域 ”.

3 立足教材，改编教材习题，变式拓展提升

案例3(鲁教版数学教材八年级下册27页联系拓广)如图11，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等.在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论.

图11

图12

本题是课后的一道习题，基本解法有两种.

许多数学问题它们都是衍生生长的，下面把该教材问题进行变式提升，推陈出新，充分发挥题目的教学功能.

变式1如图13，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，O为AC边上的中点，过点O作OE⊥OF，交AB于点E，交BC于点F.若CF=4，AE=3，求EF的长与四边形BFOE的面积.

图13

图14

图15

简析如图13，连接BO，我们可以采用前面的思路1，得到△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF，进而通过勾股定理求出EF，最终把四边形BFOE的面积转化为三角形BOC的面积.也可以采用思路2，这里不再赘述.

变式2如图14，四边形ABCD中，DC=AD,∠ABC=∠ADC=90°,连接BD，若BD=6，则四边形ABCD的面积为多少？

简析如图14，延长BC至点E，使CE=AB，连接DE，类比思路1得出△ABD与△ECD全等，四边形ABCD面积转化成等腰直角△BDE的面积，同样也可以类比思路2进行求解.

变式3如图15，点P为定角∠ABC的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠ABC互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与BA、BC相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM=PN恒成立；(2)BM+BN的值不变；(3)四边形PMBN的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的是______.

图16

变式4如图16，四边形PMBN中，∠MBN与∠MPN互补，PM=PN，连接PB、PB=6，∠MBN=120°，则四边形PMBN的面积是多少? 对于变式3和变式4的解法，请有兴趣的读者类比前面的思路1和思路2进行探究，这里不再赘述.

教学启示教材中的课后习题许多具有极高的研究探索价值，教师在教学的过程中不能就题论题，而应引导学生挖掘题目的内涵，充分发挥习题的价值.正如上面的案例，是对教材习题的一个变式探究活动，如果一线数学教师能在课堂中进行上述变化，对激发学生学习数学的兴趣，感悟数学的魅力，其效果是不言而喻的.同时它的价值更在于让学生理解知识的起源以及用什么方法和在什么地方运用它们，可以建立良好的知识结构.通过使用变式，帮助学生形成了概念，解决了问题，构建了一个活动经验系统.

教材是知识点的精华与浓缩，是专家从大量的“原材料”中经过仔细斟酌、筛选、检验、考证后才形成的“ 产品”，具有较强的典型性，有极高的研究价值.只要一线教师注意对例习题进行创造性的设计，包括对题目的选择、挖掘、引申、改编，就一定能取得理想的教学效果.实践证明许多数学问题可谓题在书外，根在书内，是教材内容的延伸.作为一线教师，要能引导学生的思维从教材延伸至远处，再从远处回归到教材，这也是教材的最终意义.