雷腾飞，陈 恒，付海燕

(1. 齐鲁理工学院电气信息工程学院，济南 250200；2. 西京学院理学院，西安 710123)

17世纪 90年代，在整数阶微积分提出不久，即出现了分数阶微积分的概念．近年来，混沌动力学相关理论广泛应用于各个领域[1]，其中随着分数阶系统的理论发展，以经典的混沌系统为研究对象，重新引入分数阶微积分算子，即提出了许多分数混沌系统如分数阶 Chen系统[2-3]、分数阶 Lü系统[4]、分数阶Lorenz系统[5]等．

目前，研究人员已在分数阶混沌系统分析与控制领域取得一定的成果，但分数阶混沌系统动力学分析的相关工作等却是最近才开始，且相关文献较少．关于分数阶的定义较多，基于此的分数阶微积分数值方法也存在不同[6]．文献[7-9]将分数阶模型通过拉氏变换到频域中，利用高阶系统模拟分数阶系统，分别对分数阶 Lorenz、分数阶超 Qi、分数阶超 Lorenz混沌系统进行基本动力学分析，同时采用模拟电路实现了相应的混沌系统．文献[10]采用预估矫正法对分数阶混沌进行同步控制研究．文献[11-12]采用 Adomian分解法对分数阶Chen以及Lü系统进行混沌特性的分析与研究，该方法的不足在于不可阐述分数阶的记忆特性．

分数阶 Liu混沌系统，一般称为临界混沌系统，该系统与经典的混沌系统(Lonrez系统、Chen系统以及Lü系统)存在不等价的拓扑，故对分数阶Liu混沌系统的动力特性的探究讨论尤为重要．若进一步利用改进的 Adomain分解法，则能够更加准确地分析分数阶Liu混沌系统的基本动力学，这对于认识分数阶混沌系统的机理具有重要意义，特别是阶数对系统的影响．

本文采用改进的 Adomian分解法对分数阶 Liu混沌系统进行分解与数值仿真，根据数值仿真结果分析 0.9阶的 Liu混沌系统的基本动力学行为．同时，利用DSP芯片实现了基于改进Adomian分解法的分数阶Liu系统，从而说明分数阶Liu混沌系统的混沌吸引子存在性，也为进一步在混沌密码、机电耦合系统控制以及图像、文字视频加密领域的应用[13-14]提供参考．

1 分数阶Liu混沌系统

文献[15]提出经典的含有平方项的临界Liu混沌系统，根据此系统可写出分数阶Liu混沌系统的动力学方程为

对式(1)系统进行非线性项的分解，截取前6项

给定初始状态：x0=x(t0)=c10，y0=y(t0)=c20，z0=z(t0)=c03，根据改进Adomian分解法[16]和分数阶微积分性质得

将相对应的变量赋系数值，令

可见，只需求出每一项对应的系数即可．根据改进Adomian分解法运算可知

从而，得出系统的解

式中：x、y、z为系统变量；a、b、c、k、h、q 为系统参数，a＝10，b＝40，c＝2.5，k＝1，h＝4，q＝0.9．对上述 Adomain分解下的分数阶 Liu系统进行数值仿真，即可得出式(1)系统的混沌轨迹，如图1所示．

图1 式(1)系统的轨迹图Fig. 1 Phase portrait of system(1)

2 系统的分岔图与复杂度

2.1 参数q的变化

分析了系统阶数 q以及内部参数 a、b、c对分数阶临界混沌系统的分岔图和复杂度[16]的影响．首先，固定内部参数，改变 q ∈[0.65,1]，从图 2(a)的系统分岔图可看出，系统在此区间处于混沌态；从图 2(b)的复杂度SE和C0可以看出，随着阶数q增大，系统的复杂度在逐渐减小．

图2 参数q变化时式(1)系统的分岔图和复杂度Fig. 2 Bifurcation diagram and complexity of system(1)with parameter q

2.2 参数a的变化

令q=0.9，a ∈[5 ,20]，改变参数 a时系统的分岔图、复杂度SE和C0如图3所示．由图3可知：分数阶Liu系统以倍周期分岔进入混沌，即随着参数a逐步减小，系统是通过倍周期方式进入混沌态；a ∈[5,14.7)属于混沌状态，此时系统的复杂度 SE相对值较大(0.6左右)，复杂度 C0相对值也较大(0.4左右)，总体此区间系统的复杂度较高；a ∈[1 4.7,20]属于周期状态，此区间内分叉图数据点比较稀疏且成线状出现，此时系统的复杂度SE处于0.1左右，复杂度C0处于0.05左右，系统复杂度相对较低．

图3 参数a变化时式(1)系统的分岔图和复杂度Fig. 3 Bifurcation diagram and complexity of system(1)with parameter a

为了验证上述分岔图与复杂度的正确性，采用相图法对具体参数下的相图进行数值仿真，结果见图4，图 4(a)为混沌态，图 4(b)为多周期态，图 4(c)为双周期态，图4(d)为单周期态．

2.3 参数b的变化

令q=0.9，b ∈[0 ,60]，改变参数 b时式(1)系统的分岔图和复杂度如图5所示．由图5可知：系统是以拟周期的行为进入混沌态；b ∈[0 ,6]时系统属于非混沌状态，此时分数阶 Liu系统的复杂度 SE为0.38～0.6，复杂度 C0接近 0；b ∈(6,60]时系统处于混沌状态，此区间对应的复杂度SE都处于0.6左右，从分岔图可以看出 b ∈(10,20)有隔离带，即阵发混沌态，相应点的复杂度值也较小．从分岔图与复杂度SE可以看出，周期态部分存在差异，但复杂度C0一致，从而说明三者是相互补充的．对于参数 b具体值时的系统相图，由于篇幅有限，不再给出．

图4 式(1)系统在参数a取不同值时的相轨迹图Fig. 4 Phase portrait of system(1)with different parameter a

图5 参数b变化时式(1)系统的分岔图与复杂度Fig. 5 Bifurcation diagram and complexity of system(1)with different parameter b

2.4 参数c的变化

令q=0.9，c ∈[1,10]，改变参数 c时式(1)系统的分岔图和复杂度见图6．由图6可知：此时系统是以倍周期分岔方式脱离混沌，与参数a变化时的方式相似．c ∈[8,10]时，系统属于周期状态，可以明显观察出分岔点的参数值范围，此时系统的复杂度SE和C0均较低；c∈(1,8]时，系统属于混沌状态，复杂度 SE较高(取值范围为0～1)，c＝6左右时分岔图存在明显的隔离，相应的复杂度值也较小．系统的相图在参数 c变化时的仿真结果与参数a相似，本文没有给出．

图6 参数c变化时式(1)系统的分岔图和复杂度Fig. 6 Bifurcation diagram and complexity of system(1) with different parameter c

3 系统的分岔空间

式(1)系统在双参数变化下的复杂度 SE见图7．从图 7可以看出：系统分岔空间与单参数变化对系统的影响具有一致性，即图7与图3、图5、图6具有一致性．参数a与c同时变化，系统出现的混沌态较大，当然复杂度也较高，如图7(b)所示．

图7 双参数变化时式(1)系统的复杂度SEFig. 7 Bifurcation space of system(1)

4 系统的数字实现

通常采用模拟电路搭建和实现混沌系统．与模拟电路相比，数字电路抗干扰能力强，随着数字电路技术的发展，利用数字电路实现混沌系统特别是分数阶混沌电路更有实际意义．数字信号处理芯片(DSP)采用 TI公司的 TMS320F28335，数模转换芯片采用DAC8552，TMS320F28335与 PC间采用串口通信．TMS320F28335为浮点 DSP控制器，主频为150MHz，精度高，运算快，可满足复杂算法的运算需要．离散数据通过基本Adomian分解法产生，然后将离散值通过DMA(direct memory access)传输给数模转换芯片．具体DSP硬件框架图见图8，系统硬件电路采用 TMS320F28335最小系统板(研旭最小系统板)搭建．

图8 DSP硬件框架图Fig. 8 DSP hardware framework diagram

将 DSP产生的混沌序列值先取小数点后 4位，且对于初值后的一段序列采用丢弃法，即取 3000～15000区间的序列，用示波器观察到的系统吸引子见图 9．

图9 示波器观察的系统吸引子Fig. 9 System attractor observed by oscilloscope

5 结 语

本文运用 Adomian分解法，从数值仿真方面分析一类经典的分数阶Liu系统丰富的动力学行为，且根据参数 q的特点得出，随着分数阶的增大，系统复杂度减小．采用数字芯片 DSP实现分数阶 Liu混沌系统，进一步说明系统的存在性与可实现性，同时也从一定意义上为分数阶 Liu混沌系统的应用奠定了基础．