张晓蓉 崔周进

摘要：第二类曲面积分的计算是高等数学中的一个难点。在教学过程中，教师往往更强调利用二重积分和高斯公式来计算第二类曲面积分，从而忽视了更有效的计算方法。此方法主要从两类曲面积分的关系出发，通过实现它们之间的转化，达到简化计算的目的。

关键词：第二类曲面积分；计算公式；投影区域

第二类曲面积分（即对坐标的曲面积分）的计算是高等数学中的一个重难点。书上给出了两种基本方法，不再赘述。下面介绍一种更有效的计算方法。此方法主要是利用第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系来实现两种曲面积分之间的转化，从而达到简化计算的目的。

设S为光滑曲面，α、β、γ分别为S上的指定法线方向与x轴，y轴及z轴正向的夹角，若P、Q、R为S上的连续函数，则

（*）

例：计算 ，其中，S是x2+y2+z2=α2的外侧。

[解]球面外侧法向量，方向余弦为，，，由（*）式得

[注]此题可化为二重积分来计算，但不如上法简洁。

例：设f（x， y， z）为连续函数，S为平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧，求

[解]被积函数中含有抽象函数，不好直接计算；又为平面x-y+z=1在第四卦限部分，其法向量的方向余弦是定值，因此可以考虑利用（*）式进行转化。

平面S上侧任一点法向量的方向余弦为，，，则

通过（*）式，一方面可以把对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面積分，简化计算，如上面两个例题；另一方面还可以推导出以下很有用的公式。

当曲面S由方程z=z（x， y）给出时，有

从而dydz=-zxdxdy，dzdx=-zydxdy，则

（S为上侧取正，下侧取负）

这样本来是对三个坐标面的积分，现在就转化为对xOy这一个坐标面的积分，计算量大大减少。

类似地还可以把 转化为仅对yOz面或zOx面上的积分。在做题时，到底应该转化到哪个坐标面上呢？一要看曲面S的方程，看可以写成z=z（x， y）、y=y（x， z）、x=x（y， z）三种形式中的哪一个；二要看S在哪个坐标面上的投影区域比较简单、规则，因为转化之后，最终是要计算一个二重积分。

总之，从第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系出发，对于第二类曲面积分，我们可以把它化为第一类曲面积分计算，也可以化为对一个坐标面的积分，使计算得到简化。而且还可以推广到一般的曲面方程，应用更加广泛。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]米多维奇.数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版社，1987.

[3]华中师范大学数学系.数学分析[M].武汉华中师范大学出版社，2001.