吴新结

【摘 要】如何突破教学的难点，一直是困扰我们的难题。以“烙饼问题”教学为例，对教学难点的成因进行简要分析，通过教学实践，在抓住问题的数学本质的基础上，通过比较、分析、分类、量化等方法，较好地突破了教学的难点，也为同类问题的教学提供了一条新的思路。以现实问题的数学本质为纲，为解决问题作思路上的引领，是有效解决教学难点的一种可行途径。

【关键词】烙饼问题；问题本质；难点突破

在“解决问题”的教学中，我们常常会面临一些教学难点的困扰，这不仅让我们烦恼，也在很大程度上影响教学目标的达成。教学难点产生的原因较为复杂，突破难点的方法也有很多。本文试图以“烙饼问题”的教学为例，从不同的角度，尝试寻找突破难点的新途径。

近期连续观摩了几节“烙饼问题”的教学课，虽然学生用学具操作烙饼时热热闹闹，但教学的进程却显得疙疙瘩瘩。整节课忙于对具体烙法的寻找和表达，缺乏冷静的思考和感悟。不仅对烙饼方法的探索感到茫然，而且对教材中提供的“交替烙”的方法也不能理解。常常是课堂严重超时，而教学效果却不能尽如人意。课后与上课教师一起进行分析，梳理出本节课教学的几个难点：一是优化思想的建立；二是对烙3张饼时“交替烙”方法的理解；三是烙多张饼时发现规律。产生这些难点的原因是多方面的，有的是教师对教材理解有偏差，把“烙饼问题”的教学目标仅定位为寻找一种节约时间的烙饼方法，忽略了数学思想方法的渗透和引领，也有的是学生生活经验短缺和思维能力不强所导致的。根本的原因则在于，学生被烙饼问题的新奇性所吸引，仅仅关注烙饼方法的花样翻新，没有透过表面现象把握问题的实质，没有形成“充分利用空间”这一数学优化的本质，始终在具体的“烙法”上纠缠，思维方向不明确，故难点重重。

如何有效突破这些难点呢？我们认为，教材用“烙饼”这一素材作为例子，意在渗透一些数学思想，其中蕴含的“优化”思想是其灵魂。我们要用数学的眼光看待“烙饼”这一生活问题，紧紧抓住“充分利用空间”这一数学优化的本质。在教学伊始，就借助关于2张饼的烙法的讨论建立这种观念，再运用比较、分析、化归、分类、量化等方法，引导学生围绕“如何充分利用空间”这一核心问题开展探索，才有可能較好地化解上述教学难点，也才有可能提高教学的效率。

基于以上认识，我们对一些教学环节进行了改进和尝试。

一、分析问题，抓住本质

充分利用锅的空间，这是“烙饼”这一问题优化的具体体现，也是该问题的数学优化的本质。建立这一本质认识的最佳时机在烙2张饼时的思辨。我们提出问题，烙2张饼可以怎样烙？1张1张地烙，2张一起烙（这是锅的容量容许的）。比较两种方法所用时间的不同，第一种方法需要12分钟，第二种方法只要6分钟。为什么第一种方法浪费时间呢？这是因为第一种烙法锅里还能放一张饼同时烙而没有放，浪费了锅的空间，也就浪费了时间。通过比较，师生一致认为，在锅的容量容许的情况下，充分利用锅的空间，每次烙2张饼最节省时间。师生们的这一认识，是烙饼问题优化的基础，是该问题的数学优化的本质内涵，也是进一步探索的基础，更是思维的方向。把握这一本质认识，也就为下一步的学习打下了基础，为难点的突破提供了可能。

二、量化引导，突破难点

教学实践表明，烙3张饼最省时的方法（交替烙）如果放手让学生去操作探索，是很难得到满意的结果的，最终大多是由教师或优生来“告诉”，费时费力不说，教学效果也很不理想。教师在这里应该有一些引导，立足优化的本质，借助计算量化分析，引导学生有所发现。3张饼如果先烙2张再烙1张，第二次锅里有空余，存在浪费的现象。我们不妨把“烙饼问题”简化为烙“面”的次数。1张饼有2个面，3张饼有6个面。锅里1次能够也最好烙2个面，需要3分钟，烙6个面只需要6÷2=3次，计9分钟。这里需要强调的是，最省时的方法是锅里每次都有2个面在烙。在具体烙法的实践中，学生本着“锅里不能空着”这一本质认识，基于锅里每次都要有2个面在烙的前提，从“面”的角度对烙饼的顺序做适当的调整，是不难发现正确的方法的。在先前经验的基础上，运用对本质的认识，借助计算量化，对问题进行简洁的数学化处理，缩小了探索的范围，明确了思维基本路径，有助于学生的发现，也有助于一些学生对“交替烙”这种方法意义的理解。不让学生被动地等待，在学生百思不得其解时，予以恰当的思路点拨，教师的主导作用在这里得到了很好的发挥。

三、举一反三，探明规律

有的教师在教学4、5、6张饼怎样烙节省时间时，还是从具体的操作入手，没有适时进行抽象思考。我们认为，从教学的效率来讲，不容许我们还在具体的烙法上过多地纠缠，从思维能力的培养上来看，此时需要我们跳出具体的情境走向抽象的王国。我们提出，如果要烙很多张饼，怎样才能保证节省时间。学生将烙3张饼时的经验进行迁移，自然会想到，只要每次锅里都有2个面在烙，就能保证所用的时间最少。所用时间=饼的张数×2÷2×3。进一步简化为所用时间=饼的张数×3，也可以理解为1个饼剖开成2个面，一次烙好需要3分钟。在具体的烙法上，我们可以利用已有的经验，2张饼同时烙6分钟最节省时间，3张饼交替烙9分钟最节省时间，对4张饼和5张饼的情况进行分析。4张饼2张2张地烙，5张饼2张3张地烙。进而可分偶数张饼为若干个2的和，奇数张饼为若干个2和一个3的和，问题得到进一步的解决。不难发现，在这里起作用的还是“充分利用空间——每次锅里都有2个面在烙”这一本质认识，并在新的问题情境中得到拓展和深化。当然，摆脱对学具的依赖，由直观的“烙饼”到抽象的分析，分类、转化的思想方法在这里也起到了积极的作用。

四、教学反思，升华思想

教学至此，“烙饼问题”基本得到了解决，但教学并不能就此停下脚步。前面的关于烙饼问题的本质性认识，还囿于具体的实例，有必要将这种认识上升到对一类数学思想的感悟。我们引导学生反思，为什么不同的烙法所用的时间不同，有的节省时间，有的浪费时间？这是因为不同的烙法对锅的使用程度不同，有的充分利用空间，有的有空余。上一节课学习的“烧开水”问题时间节省在哪里？人在等水烧开的时候，洗茶杯、找茶叶，人没有闲着，从中我们可以体会到，人或设备在完成一些工作时，要尽量充分利用，不闲置和空余，才能最好地节省时间。人们在完成一项工作时，往往要提前筹划，反复比较，找出最优的方案，这就是数学上的“优化”，也叫“统筹”，是一种合理安排工作进程的方法。我们熟悉的华罗庚爷爷，当年倡导、应用、推广“统筹法”，为提高工厂的生产效率做出了突出的贡献。

通过具体的教学实践，我们发现，课前我们提出的几个教学难点都在一定程度上得到了较好的突破。综观整节课的教学，教学进程梗阻少了，思路顺畅多了；漫无目的的操作少了，交流思辨多了；整节课毫无收获的现象少了，有所感悟多了。这都得益于整节课始终抓住了“烙饼问题”的本质认识，教学的目的性更强，学生的思路目标更明确，学生活动经验的积累和数学思想方法的感悟得到了落实，教学效益得到了提高。

同时我们也认识到，由于经验、知识和认知方式的局限，学生对某些生活问题往往只能够关注其表面现象，对问题的数学本质缺乏深刻全面的认识，影响他们对问题的顺利解决。在教学中，教师有责任引导学生透过事物的表面现象审视其数学实质，缩短学生已有认知水平和新学习内容之间的差距，寻找新知识的落脚点，搭建认知跨越的平台。

我们知道，一类问题中往往蕴含着该类问题的本质属性，它是某种数学思想方法的源泉，是一节课的“课眼”，抓住了这个关键，就有了思考的落脚点，就有了思维的方向，也就有了突破难点的路径。因此，我们在遭遇教学难点时，不妨从数学的角度着眼，从问题的本质入手，创新思想方法，在解决问题的过程中去寻求突破难点的方法。

参考文献：

[1]夏俊生.数学思想方法与小学数学教学[M].南京：河海大学出版社，1998.

[2]李俊非.“烙饼问题”的数学意义之思考[DB/OL].shouhu.教育.

（安徽省望江县第一学校 246200）