◇访谈/李荣荣 季纯纯 整理/章勤琼

在首届两岸“温清小学数学教学与研究论坛”期间，温州大学教师教育学院的研究生李荣荣与季纯纯就 “推理与论证”专题，围绕“如何认识推理”“课标与教材中是如何体现推理的”“在课堂上如何实施推理与论证的教学”“两岸小学数学课堂教学有什么异同”这四个方面，对各位专家进行了访谈。

一、如何认识推理？

问：林教授，您能谈一谈对推理是如何定义的吗？

林碧珍：对于推理，不同学者有不同的说法，目前还没有定论。我的观点是，推理主要有四种类型：归纳推理、演绎推理、类比推理和溯因推理。溯因推理，是由结果反推原因，这类推理并不一定产生正确的结果。在医学中常使用溯因推理，由病患的病征寻找病因。而找出的病因不一定是准确的，只能说是可能的原因。类比推理，就是类化，类似教育上的学习迁移，而学习迁移的结果并不一定正确，过度类化经常会产生错误的结果。例如，在正整数乘法中是越乘越大，就无法类推出在分数的乘法中也一定是越乘越大。归纳推理是从现有例子里，进行归纳总结，推论出结果。归纳推理也有风险，有时会出现错误。演绎推理是推理类型中有效的证明方法。在臆测的最后阶段，希望学生能用有效的推理方式，证明他们所提出的猜想或主张是正确的。演绎推理是用已有的知识说明新知识的真实性。为什么正数除法中除以比1大的数，结果会变小？学生是利用“乘比1小的数，结果会变小”的旧知识证明的。

二、课标与教材中是如何体现推理的？

问：台湾的课纲（台湾2001年发布的《中小学九年一贯课程暂行纲要（数学学习领域）》）里对推理有什么要求？

林碧珍：课纲没有明确太多要求，课纲中除了数与量、几何、代数、统计四个主题，还有联系（connection）主题。联系是强调数学与外部的联系和数学内部联系。数学内部联系是数学知识之间的联系。比如，任何数乘1都等于它本身，或者分数乘法、小数乘法之间是有关联的。数学与外部的联系是指数学与其他学科的联系或与生活的联系。联系包含察觉、转化、解题、评价，联系指标中提到解题的历程和方法，如演绎、归纳、臆测或反证法。台湾的课纲开始重视联系，但似乎没有真正落实到课堂中，因此我在六年前组成了一个臆测与论证的教学研究团队，协助教师落实联系目标中提及的臆测和论证。

问：张丹教授，您能谈谈在大陆的课标（《义务教育数学课程标准（2011年版）》）里对推理有什么要求吗？

张丹：推理作为课标中的核心概念，分为合情推理和演绎推理。合情推理主要用来建立猜想，演绎推理主要用来验证猜想。合情推理分为归纳、类比、溯因，其中溯因在课标中并没有出现。课标强调推理无处不在，鼓励学生大胆猜想、实验、类比等，要求有条理地表达自己的思考。

问：您是北师大版小学数学教材的主编，那么，在北师大版教材中是怎么体现推理的？

张丹：从形式上讲有两种，一种是设计专门的活动；另一种是具体的内容，在专门的章节中培养学生掌握推理的基本方法。但更多的是把推理的想法渗透在内容的教学中。比如，通过归纳让学生知道商不变的规律，开始时有例子，先发现共性，然后进行表达、验证。再比如类比，北师大版教材中比较有特色的是圆柱的体积，运用了类比的方式，猜想：圆柱的体积到底等于什么呢？类比长方体的体积。而探讨长方体的体积时是类比长方形的面积，从而提出猜想。此外，强调要说明道理，包括运算的道理，如为什么 15-9=6？看起来方法多样，但学生要说清楚每种方法背后的道理。其中有些是在专门的内容、专门的章节（“数学好玩”）做一些数学推理活动，更多的是在概念的形成中体现推理过程。有这样一句话，“数学知识形成的过程其实就是数学猜想合理化的过程”，这就是强调要有一个推理的过程。只要你重视这个知识的形成过程，就必然要渗透这个知识是怎么来的，为什么会是这样，这就是推理的能力。因此，更多的是在重要概念的形成过程中，鼓励学生去发现，鼓励学生说明道理，从而培养学生的推理能力。而发现的途径是多样的，有归纳、类比、直觉；载体也很多，有数、运算、几何图形；表现形式也多样，结合生活实例、画图、自然的语言进行分享，通过算式和符号表达。无论是素材的多样性，还是学生思考路径的多样性，或是推理形式的多样性，都是在渗透推理能力。

三、在课堂上如何实施推理与论证的教学？

问：前面已经分别谈了对推理的认识，以及课标和教材里的要求与体现，那么，该如何实践“推理与论证”的教学呢？

林碧珍：我的研究团队是通过臆测教学发展学生的归纳推理、类比推理、演绎推理等能力的。第一阶段，通过造例提出问题。第二阶段，提出猜想，就是每个小组在造例后，会提出猜想。每组大概都会有10个例子，根据这10个例子提出的猜想看起来像真的，这叫暂时性的猜想。第三阶段，效化猜想。因为只用10个例子来支撑是不够的，所以还要找其他组不一样的例子，来验证这个猜想是否仍然符合。当符合时，猜想就越来越接近正确的结论。这时候，就可以进入第四阶段：猜想一般化。可以问学生：你认为这个猜想对所有的例子都成立吗？当例子越来越多时，就是在进行归纳推理，但是，到目前为止的过程都还只是似真的，是合情推理。为了确认猜想是否恒真，就需要到最后一个阶段：证明一般化。学生用已有的知识证明，这就是演绎推理。

问：陈加仓校长，在大陆的小学数学教学中，“推理”是如何展开的呢？

陈加仓：个人认为，我们对推理的理解还比较片面，在我们的小学数学教学中对推理的重视还不够。在合情推理和演绎推理中，我们在小学运用更多的是合情推理，如归纳推理与类比推理。在我们的课堂上，一般要经历“举例—猜想—验证”这样的环节，这与林碧珍教授谈的臆测教学是类似的。例如，昨天课堂上的“三角形拼接”，几个三角形的拼接有这样的规律，那是否所有的三角形拼接都有这样的规律呢？还是说根据前几个得出规律后，后面的随之可以推导出来？这样的归纳推理其实渗透在我们的每一节课中，只是教师在教学的过程中习惯用“归纳”“概括”这样的词语，而没有抽象出“归纳推理”这个词。再说一下类比推理。比如，由商不变的性质到分数的基本性质，尤其是由分数的基本性质到比的基本性质，在教学的过程中，我们需要使用类比推理。还有根据长方形面积等于长×宽，可以猜想平行四边形的面积等于底边×邻边，虽然这个猜想是错误的，但是这是学生最原始的想法。于是这节课我们就需要解决平行四边形的面积为什么不是底边×邻边，而是底×高。归纳推理与类比推理占小学推理中的绝大部分，我们要紧扣课标的要求进行教学。

四、两岸小学数学课堂教学有什么异同？

问：从前面各位谈的，我们能看出大陆与台湾在 “推理与论证”的教学理念与实施上有很多相同的地方。但在这几天的课堂教学中，我们也能感受到一些不同。比如，大陆教学的逻辑性非常强，层层递进，节奏比较快，同时我们感受到了台湾教学慢的艺术。陈校长，在教学的过程中，您认为大陆的教学过程是否有必要像台湾一样放慢速度？

陈加仓：这要结合大陆的具体情况来说。大陆每个班级的学生相较于台湾要多，每增加10个学生可能就有1个特殊学生，相对而言课堂的调控是比较难的。时间与班额是一个非常大的问题，学生多，随之学生之间的差异性也大，在教学的过程中，教学的速度如果一直放慢，那么该怎么考虑思维敏捷、逻辑性较强的学生？这是一个值得思考的问题。课标中有一句话说得极好，学生学习的数学内容应当是现实的、有意义的，同时要具有挑战性。教师在教学的过程中要顾及速度的快慢，又要思考让学生感觉有挑战性，这之间如何平衡，是班级授课制带给我们的挑战。

蔡文焕：每位教师的教学，都应当依据自己班级的具体情况进行调试。例如，陈加仓校长的班级在平时的教学过程中就喜欢挑战，突然之间遇见教学比较慢的教师会表现出不适应。因此我们要考虑整个文化的差异性。

蔡宝桂：我们这次活动不是为了比较（大陆的教学好还是台湾的教学更胜一筹），而是我们之间文化的分享。我们要关注的是，在小组内如何协调让已掌握的学生协助未掌握的学生，让已掌握的学生也有事情可做，这是我在教学过程中的亲身体验，也是我想分享给大家的观点。

蔡文焕：我们还需要注意营造良好的数学教学课堂文化氛围。比如，能否通过沟通、讨论、说理形成共识，这也是推理与论证教学的一个重要目标。此外，在学生之间的互帮互助中，学生要思考用什么方法可以让别人听懂。还要换位思考——假如我是你，从而找出问题，找准起点进行帮助。即使是学生教学生，也需要一定的规划。

（林碧珍、蔡文焕：台湾清华大学数理教育研究所教授。张丹：北京教育科学研究院教授。蔡宝桂：台湾课程督学。陈加仓：温州大学城附属学校校长)