杨恪 余代俊 黄强

摘 要：传统的物理大地测量方法一般采用“移除-恢复”二次曲面法内插出任意点的高程异常，但其精度存在着比较大的限制，转换正常高的有时会出现30mm以上的偏差。为了提高传统方法求解的高程异常精度，本文在传统二次曲面拟合建模过程中新增一个距离因子，即带余项的二次曲面拟合。分别应用两种模型对同一地区GPS高程点转换正常高，传统的二次曲面解算的高程异常偏差平均值约为14mm，而带余项的二次曲面解算的高程异常偏差约为9mm。改进后的带余项的二次曲面拟合法相对传统方法可以提高求解高程异常精度，精度提升在35.5%左右。

关键词：高程异常；移除_恢复；重力场模型；二次曲面拟合；带余项的二次曲面拟合

测绘工程领域尤其是大地测量方向的研究人员通常采用物理大地测量方法来解高程异常。该方法的核心是基于重力场模型的“移除_恢复”二次曲面拟合法，先把高程异常中的重力场模型高程异常部分移除，接着对剩余的高程异常进行二次曲面拟合，然后在各个内插点上把移除的重力场模型高程异常恢复。虽然二次曲面拟合法对似大地水准面与WGS84椭球面的差值进行建模在一定程度上可以有效地求解出GPS观测点的正常高，但是以往采用这种方法的算例中有些正常高转换的精度偏差达到20-30mm[1]将这种精度下的正常高直接应用于一些精度要求较高的大地测量或者工程测量中。

在整个传统的物理大地测量方法中，虽然重力场模型几乎可以覆盖全球，并且重力场模型数据也可以很方便的获取，每个地区点的重力异常与当地的实际的重力异常往往存在着系统偏差，这些偏差跟当地的地下密度不均、地形数据等因素的干扰都有着密不可分的关系。[2]本研究把可能的重力异常偏差在相对较小的范围内随地点变动的因素考虑进去，并且把该因素的作用量化地反映在“移除_恢复”拟合法过程中的二次曲面拟合环节，从而提出了带余项二次曲面拟合方法。

1 物理大地测量方法

1.1 高程异常

高程异常是参考椭球面与似大地水准面之间的高差，地面上每个点的高程异常都不相同，主要受重力不均匀的影响。

若已知某测点的大地高为H，水准高为h，则测点的高程异常ζ为：

1.2 地球重力场模型

按照大地测量学的理论，实际的高程异常ξ通常包括ξGM、ξG、ξT[2]表示为下式：

地球重力场模型是用来描述和表示地球重力场的一类基本参数的集合，是对地球重力场的逼近或拟合。本次研究求解重力场高程异常采用的模型是GOCO05c重力场模型，它是欧洲地球物理学会于2016年最新发布的针对先前GOCE卫星探测的高精度和高空间分辨率重力场模型的升级模型，此模型的数据可以从德国地学中心免费获取。GOCO05c模型中的位系数由卫星轨道分析（用于确定大地水准面的长波特性）、地面重力（中波、短波特性）以及卫星测高三者数值综合拟合确定。此重力场模型可以提供全面的高精度的包含长中波的高程异常信息，而重力测量中测量的是重力场垂直分量，高于地球测点平面重力多余部分和低于这个平面重力缺失部分是很难直接从重力场模型中计算出来的，所以地球重力场模型难以提供精准的高程异常，因此可以把高程异常分成两部分：

其中：ξM表示由GOCO05c重力场模型求得的高程异常；Δξ表示实际高程异常和地球重力场模型计算的高程异常之间的差值。Δξ不仅包含重力场高程异常中缺失部分的高程异常，还存在着在实际几何水准测量获取高程异常过程中以及计算重力场高程异常过程中不可避免的异常误差。

1.3 拟合建模

二次曲面拟合法是GPS水准测量中常用的拟合方法之一，已经有很多学者专家研究并发现，二次曲面拟合曲面与似大地水准面之间的符合程度相当高。基于上述理论基础，假定在测区面积不大，测区内地形起伏相对平缓，已知点的分布比较均匀地区，将剩余高程异常差也可以近似地看作是该小范围内各点坐标的二次曲面函数。如果已知某测区均匀分布的已测点的剩余高程异常，通过二次曲面拟合法就可以求解出测区待测点的剩余高程异常。

传统的二次曲面拟合法采用六参数法，其拟合公式为：

本文还提出剩余高程异常变化随着高程异常变化分布也是有一定规律的，即在某一平缓区域已知某一单点的剩余高程异常，该单点临域内的剩余高程异常随着到该点的距离的增加而呈现递减的趋势，即该单点对于其临域内的任一点的剩余高程异常的影响程度随距离的增加而减少。结合地理信息空间分析，本文选取了距离倒数权重插值法对剩余高程异常的变化规律进行描述。本文引入了一个变量P，P表示已测点的剩余高程异常与实际高程异常之比，已测点的高程异常P可以轻松求算出，对于测区内待测点的剩余高程异常Pi采用距离倒数权重插值法计算：

其中Pk表示已测点的剩余高程异常占比；si表示待测点到已测点之间的平面距离；μ表示距离倒数权重拟合系数。P代表的是剩余高程异常在实际高程异常中的占比，可以有效描述测点剩余高程异常与实际高程异常之间的关系。

因为新增了一个变量P，带余项的二次曲面模型不仅可以反映剩余高程异常与测点的经纬度的关系，同时把测区内任意测点之间的剩余高程异常内部的相关关系考虑进去，可以在一定程度上提高拟合模型的精度，得出更加精准的剩余高程异常值。

新增的变量P的带余项的二次曲面拟合法的拟合公式采用七参数法，如下：

从数学角度分析这两种模型，理论上拟合建模时采用的已知点的个数越多，拟合方程中变量因子越复杂，拟合得到的曲面可以更加精确地逼近所研究的对象。

2 实例分析与比较

本次研究选取了位于四川省某县域45个镇（乡）作为测区，该测区的地形起伏平缓，地面结构复杂度低，在此测区中由传统几何水准测量方法可以获取较为精准的正常高。同时该县具有完善的基础测量控制网，在全县域内布设有10个C级测控点，80个D级测控点，C级控制点监控获取的点位信息以及高程数据较D级测控点所获取的无论是精度方面还是有效性方面都有很大的提升，所以本次研究選取县域内C级水准点进行第一步操作。通过GPS获取该C级水准点的大地高，结合由四川省测绘地理信息局提供的C级水准点的正常高，可以求解出每个C级水准点的高程异常作为已测点的实际高程异常。

调用Visual Studio 2015平台上自行编写的 C#程序，首先导入GOCO05c重力场数据，然后导入任意测点的大地经度、大地纬度以及大地高，可以直接求解出任意测点的重力场高程异常以及剩余高程异常，求解到的10个C级测控点的数据如下：

C01，-2.0415，0.052079、C02，-2.1343，0.054476、C03，-21868，0.055808、C04，-2.2637，0.057727、C05，-2.3609，0060186、C06，-2.4092，0.061328、C07，-2.4436，0.058233、C08，-2.4221，0.058136、C09，-2.3918，0.058104、C10，-2.3439，0057397（点号，高程异常，剩余高程异常占比）

求解出高程异常以及剩余高程异常占比等各项数据之后，同样基于Visual Studio 2015平台通过自编C#程序完成传统二次曲面以及带余项的二次曲面拟合过程并确定了两种模型中的各项系数，求出的两种二次曲面如下：

为了验证和比较上述两种模型对于高程异常拟合的精度，选取10个全县域内的D级测控点分别带入两种模型进行计算。在进行带余项的二次曲面拟合建模之前，必须预先处理求出每个待测D级测控点到已测的每个C级测控你点之间的距离，结合公式（7）确定每个待测点的变量P的值，本次研究确定公式（7）中距离拟合因子μ的值为1，通过计算得到D1-D10点的剩余高程异常占比分别为：0.054631、0.055330、0.055666、0.056046、0.056562、0.057461、0.057925、0.058780、0.059651、0.060021。

两种模型下求出的10个D级测控点的剩余高程异常以及恢复的高程异常结果如下：

D级测控点重力场高程异常二次曲面拟合剩余高程异常二次曲面拟合恢复高程异常带余项二次曲面拟合剩余高程异常带余项二次曲面拟合恢复高程异常传统二次曲面拟合高程异常偏差带余项二次曲面拟合高程异常偏差

D01-37.1464-2.0630-39.2094-2.0797-39.22610.010409-0.006291

D02-37.1269-2.1090-39.2359-2.1214-39.24830.011047-0.001353

D03-37.0055-2.1435-39.1490-2.1515-39.15700.0158620.007862

D04-36.9890-2.1651-39.1541-2.1712-39.16020.0197730.013673

D05-36.9820-2.2080-39.1900-2.2103-39.19230.0036690.001369

D06-36.9779-2.2447-39，2226-2.2470-39.22490.011234-0.013534

D07-36.9357-2.2848-39.2205-2.2819-39.2176-0.007627-0.004727

D08-36.8903-2.3219-39.2122-2.3185-39.2088-0.0042230.000823

D09-36.8916-2.3810-39.2726-2.3728-39.2644-0.028873-0.019673

D10-36.8943-2.3987-39.2930-2，3897-39.2840-0.029150-0.01915

结果如上表所示，传统二次曲面拟合求解的高程异常偏差最大值约为30mm，最小值约为3.7mm，平均值约为14mm，而带余项二次曲面拟合所得高程异常偏差最大值约为19mm，最小值约为0.8mm，平均值约为9mm。计算两种模型下求解的10个D级测控点高程异常偏差的标准差分别约为0.052和0.034，通过这两个标准差的数值可以得出采用带余项的二次曲面拟合比采用传统二次曲面拟合计算得到高程异常偏差的精度提升了约35.5%。

3 结论

（1）物理大地测量法可以一定精度地实现GPS大地高向正常高的轉化，当其精度达不到所需求的精度，可以对传统方法在数据处理、拟合建模方面进行改进。

（2）在一定的区域范围内考虑区域内部点之间的相互影响关系可以求解出更为精准的GPS高程异常，为小范围内求解高程异常并提高其精度提供了一个思路。

（3）把复杂的测绘数据与计算机语言结合起来可以方便的解决一些数据处理、拟合建模等问题。

参考文献：

[1]刘玉婵，王延霞，李鹏.最小二乘配置模型在 GPS 高程拟合中的应用[J].测绘与空间地理信息，2015（8）：67-69.

[2]樊子德，龚健雅，刘博，李佳霖，邓敏.顾及时空异质的缺失数据时空插值方法[J].测绘学报，2016（4）：458-465.

作者简介：杨恪（1994-），男，汉族，硕士，成都理工大学610059，大地测量； 余代俊（1959-），男，汉族，教授，硕士生导师，成都理工大学610059，GPS测量定位技术；黄强（1987-），男，汉族，博士，邛崃市国土不动产局。