高红成

(天津师范大学数学科学学院，天津 300387；内蒙师范大学科学技术史研究院，呼和浩特 010022)

《圆锥曲线说》3卷，艾约瑟(Joseph Edkins， 1823～1905)口译，李善兰(1811～1882)笔述，现今见到的最早的版本是同治五年(1866)金陵书局本《重学》的附卷。此版《重学》书名题“重学廿卷附曲线说三卷”，“曲线说”即《圆锥曲线说》。[1]该书以综合几何的观点依次介绍椭圆、双曲线、抛物线圆锥三曲线的判定和性质，属于纯数学内容，学界一般认为它是为了解释《重学》中涉及的数学内容而翻译的。该书除作为附卷随《重学》出版外，还发行过单行本，后还被编入《中西算学大成》、《古今算学丛书》、《富强丛书续集》等丛书[2]，是晚清国人圆锥曲线知识的重要来源，影响极广。李善兰就曾称其《椭圆拾遗》(3卷)是因为“旧译《圆锥曲线说》遗议尚多，而椭圆为天算家所恒用，故亟为补之”[3]。傅兰雅编写的《西学须知》流播广泛，其中的《曲线须知》就是《圆锥曲线说》的节本。[4]

汉译西方著作底本的考证是研究知识传播的基础工作之一。近十多年来，学界关于《重学》的版本、内容、影响以及英文底本的研究有很大的进展[5- 13]，但《圆锥曲线说》所据英文底本一直不详。*日本学者桥本敬造先生认为底本是惠威尔(W. Whewell)的Conic Sections(《圆锥曲线》)[14]。按，惠威尔的确编写过Conic Sections这样一本书，但经过比对，知此书肯定不是汉译《圆锥曲线说》的底本。估计是因为《重学》英文底本的作者是惠威尔，恰好他又写过Conic Sections，桥本先生才有此说。该书只*明“英国艾约瑟口译，海宁李善兰笔述”，并没有原作者的信息，其底本考证有如大海捞针，难度很大。不过，作为数学著作，它有着特有的逻辑性和一些独有的内容(如证明方法、图示、数据)，这些能为底本的比对与确定提供关键的证据。借助互联网和学界同仁的帮助，我们找到了与《圆锥曲线说》几乎一一对应的英文底本：英国数学家查尔斯·赫顿(Charles Hutton，1737 ～1823)的《数学教程》(ACourseofMathematics)卷2中的“圆锥曲线”(ConicSections)。本文也可以作为金陵版《重学》研究的一个补充。

1 《圆锥曲线说》内容简介

《圆锥曲线说》主要是从综合几何的观点介绍圆锥三曲线的性质，结构很简洁。全书分为3卷，依次为“椭圆诸款”、“双曲线诸款”、“抛物线诸款”，每一款即为一个定理，先给出定理内容，然后给出证明，有的“款”后有推论，称之为“系”。卷1开始部分(两页半)相当于全书的“总论”，指出由圆锥面与不同角度的平面相交得到圆锥曲线，即圆锥截线，并结合图示给出了三曲线的径轴、直径、属径(共轭直径)、通径、两心差(中心到焦点的距离)、渐近线等概念。

卷1讨论椭圆，共11个定理。定理1“各正弦自乘方之比同于各二截径相乘积之比”，是全卷的基础定理。基于此，由几何推理方法得到了椭圆基本定理、面积公式、切线、次切线的若干性质(如椭圆的光学性质)以及椭圆作法。

卷2专论双曲线，由13个定理组成。定理1是基础定理，文字内容与椭圆定理1相同。由此，推得双曲线的各弦特别是实轴、虚轴、切线、次切线、渐近线的性质以及双曲线的基本定理与作法。最后两个定理相当于给出双曲线对数积的几何推证，并指出纳皮尔(Napier)对数和巴迪斯(Briggs)对数两者对数根的几何意义。

卷3专论抛物线，由16个定理组成。同样，定理1“各截径之比同于各正弦方之比”是全卷的基础定理，之后得到抛物线通径、准线、切线的性质和抛物线的作法。最后一个定理推导出了抛物线面积公式。

2 查尔斯·赫顿《数学教程》卷2中Conic Sections与《圆锥曲线说》的比对

2.1 赫顿及其《数学教程》

查尔斯·赫顿，英国数学家，1737年8月14日生于英国泰恩河畔纽卡斯尔的珀西街(Percy-street， Newcastle-upon-Tyne)，7岁时肘关节受伤，因未及时医治而不能活动自如。他很有数学天分，自学成才，掌握大量的数学知识，后来在纽卡斯尔开办了一所学校并且担任校长和数学教师。1770年，他主持了对纽卡斯尔的大地测量，并在1772年为当地制作了一幅雕刻版的立体地图。同年，他出版了《桥梁原理》(ThePrinciplesofBridge)，这本著作后来还为伦敦桥(London Bridge)的重建提供了指导。1773年，他被伍尔维奇皇家军事学院(The Royal Military Academy at Woolwich)聘为数学教授，直至1807年退休。1774年，他成为英国皇家学会会员，1779年任英国皇家学会的外事秘书(Foreign Secretary)，1783年辞去此职。1778年获得英国皇家学会的科普利奖章[*]赫顿获得科普利奖章的论文1778年发表在英国皇家学会《哲学汇刊》(The Philosophical Transactions)上，题目为 The Force of Fired Gun-Powder, and the Initial Velocities of Cannon Balls, Determined by Experiments: From Which Is Also Deduced the Relation of the Initial Velocity to the Weight of the Shot and the Quantity of Powder。，1779年获得爱丁堡大学的法学博士学位，1786年成为爱丁堡皇家学会会员。1823年1月27日因病去世。[15]

赫顿在《哲学汇刊》上发表了多篇文章，并且出版了多部著作，如《数学与哲学辞典》(MathematicalandPhilosophicalDictionary，1795)、《圆锥曲线初步》(TheElementsofConicSections， 1787)、《数学教程》(ACourseofMathematics，1sted.， 1798)等等。

《数学教程》第1版于1798年出版，共2卷，书名有一个副标题“特别为伍尔维奇皇家军事学院的军官学员编写”(Composed，andmoreespeciallydesigned，fortheuseofthegentlemancadetsintheRoyalMilitaryAcademyatWoolwich)。第1卷包括算术(Arithmetic)、对数(Logarithms)、代数(Algebra)、几何(Geometry)等内容。第2卷包括平面三角学(Plane Trigonometry)、测量( Mensuration)、大地测量(Land Surveying)、圆锥曲线(Conic Sections)、力学(Mechanics，包括静力学、流体静力学、声学等)、流数(Fluxions)等内容。[16]这些内容主要是初等数学、初等力学、微分(流数)及其应用，大致相当于现在理工科大学低年级学生应掌握的数学和力学知识。

《数学教程》非常受欢迎，后多次改版或改编，在赫顿生前就出版至第7版。第1版至第5版(出版年依次为1798年、1799年、1801年、1803～1804年、1807年)均为2卷本，内容大致相同。第6版(1811年)和第7版(1819～1820年)在第5版的基础上增加了1卷，变成3卷本。第3卷共15章，是前两卷相应内容的深化和扩展，包含圆锥曲线、等周平面图形和等积立体图形的最值问题、三角测量和大地测量、球面三角形、流数的应用以及实用枪炮理论等内容，有很强的实用性和针对性。其中第1章为《圆锥曲线续编》(ContinuationofConicSections)。第6、7两版区别不大。

1824年，赫顿去世之后的第二年，他的同事奥林瑟斯·格雷戈里(Olinthus Gregory， 1774～1841)将《数学教程》改编，出版了第8版，之后陆续有第9版(1828年)，第10版(1831年)。这3版体例与第6、7版相同，均为3卷本。1836～1837年，第11版出版，全书又变回两卷本，共940余页，主要将第10版中卷3的内容按照知识分类相应编入前两卷中。

格雷戈里去世后，他的同事托马斯·史蒂芬斯·戴维斯(Thomas Stephens Davies， 1795～1851)接力在1843年将此书改编出版了第12版。这一版继承了两卷本的体例，但是“一个新的并经过仔细校对的版本”(a new and carefully corrected edition)，比之前的版本有非常大的变动。[*]赫顿《数学教程》这个系列在纽约有一个改编系列，笔者看到了前5版(1812年、1816～1818年、1822年、1825年、1831年)，均*明从何改编，如1822年第3版标*“依据伦敦第5、6、7版改编”。 此外，在伦敦也有一个改编系列，不标版次，笔者看到了前4版(1833年、1841年、1843年、1860年)。经过比对可知，它们中的Conic Sections均不会是《圆锥曲线说》对应的英文底本。

2.2 第8、9、10版卷2中Conic Sections及其与中文版《圆锥曲线说》的比对

上文介绍的《数学教程》的12个版本中，中间第6～10版为3卷本，其余为2卷本，每一版均有ConicSections(“圆锥曲线”)内容。第1～6版卷2中ConicSections内容相同。这部分以综合几何语言介绍圆锥曲线的定义和性质，开篇用平面截圆锥面定义圆锥曲线，之后分为三节，依次介绍了椭圆(Ellipse)11个定理(Theorem)，双曲线(Hyperbola)13个定理和抛物线(Parabola)19个定理。这些内容均节选自赫顿早年编写的《圆锥曲线初步》(1787)。[17- 18]第7版卷2中ConicSections内容有些变化，相较于第6版，Parabola一节删去定理16，定理17～19顺次变成定理16～18。

第8～10版这三版卷2中ConicSections内容一样，主体内容承接第7版，但改编者格雷戈里在Hyperbola(双曲线)一节增加了两个细节，是中英文版本重要的比对点，后文将介绍。4个3卷本(第6～10版)第3卷的第一章为“圆锥曲线续编”，其内容是《圆锥曲线初步》编入卷2之后剩余的部分。

第11版(两卷本)卷2中ConicSections是由第10版卷2、卷3的圆锥曲线合并得到，按椭圆、双曲线、抛物线分类，各有18个定理，有的定理还有替换，每节增加了练习题。

第12版(两卷本)中圆锥曲线部分变化很大，三曲线介绍顺序调整为抛物线、椭圆和双曲线，具体内容与前11版相差很大。

将英文ConicSections与汉译《圆锥曲线说》的内容进行比对，我们发现第8～10版卷2中ConicSections内容相同且与中文版内容几乎一一对应：定理先后次序完全相同、个数几乎一致。只不过英文版ConicSections中Parabola(抛物线)一节最后两个关于旋转抛物体体积证明的定理没有翻译。全文翻译时李善兰增加了4条解释性的案语，句首均冠以“善兰案”为标志，依次出现在椭圆第7款、双曲线第3款与第11款、抛物线第4款之后。作为示例，同时为方便后文的讨论，这里选取双曲线的第2款以及第13款的中英文对照如下(图1与图3，图2与图4)。

图1 中文版“双曲线”第2款

前文提到，第8～10版中ConicSections的Hyperbola一节增加了其他版次没有的两个细节。第一，Theorem II的证明有一个otherwise(另证)，如图3。这个证明与中文版“双曲线”第2款证明的“别有解”完全对应，如图1。第二，Theorem XIII后有个Scholium(*释)，如图4。这与中文版“双曲线”第13款后的4个推论(图2)几乎完全对应，只不过中文版将它们分成4节，称之为4个“系”。这两个细节是支持本文结论的重要证据。

一一比对后可知，汉译《圆锥曲线说》与ConicSections在内容上几乎完全一致、定理先后排序一样、个数几乎相等(只相差2个没有翻译的定理)、特有的细节相同，这些表明《圆锥曲线说》英文底本只可能来自第8～10版中某一版卷2中的ConicSections。(图5)

图2 中文版“双曲线”第13款

图3 Conic Sections /Hyperbola /Theorem II

图4 Conic Sections/Hyperbola/Theorem XIII

图5 赫顿《数学课程》第10版卷2版权页

3 结 语

综上所述，我们认为《圆锥曲线说》的英文底本是英国数学家查尔斯·赫顿《数学教程》在伦敦发行的第8版(1824年)、第9版(1828年)和第10版(1831年)中某一版卷2中的ConicSections。但是这三版中的ConicSections内容一样，艾约瑟、李善兰参考的确切版次年代还需进一步的研究。韩琦先生曾指出，晚清汉译西方著作有些底本的确定并非易事[9]，故在此公开《圆锥曲线说》底本探寻、研究的结果，以求学界共同推进。

致谢中山大学历史学院黄超博士、中国科学院自然科学史研究所郑诚博士、上海交通大学人文学院董煜宇博士、内蒙古师范大学科技史研究院董杰博士、伊利诺伊州立大学访问学者郑贤旭研究员、佛罗里达大学访问学者訾雪旻教授、美国西新英格兰大学工业工程与工程管理系李钊军教授、明尼苏达大学德卢斯分校数学与统计系李轩副教授等友人帮助查询复制相关文献资料，在此谨致谢忱!