黄金波

摘 要：文章将全国一卷与福建省（以下简称我省）自主命题卷进行了比较分析，阐述了各自的优缺点，倡议全国一卷模式应做适当的变革，以利于高考更好地发挥选拔功能，指导一线教师的教学工作，文章通过一道概率与数列交汇题的磨制来佐证变革的必要性和意义。

关键词：改革；磨制；全国一卷

一、对全国一卷与我省自主命题的简析和比较

我省高考采用全国一卷已经两年了，从中我们发现全国一卷比福建省自主命题卷难，也有很多特点，其中最显著的特点就是“定式”多，比如：集合、复数、算法、三视图、二项式定理和线性规划必考一题，其中复数固定在选择题前面，不会太难；解答题第17题两年考数列、两年考解三角，如果考数列，小题数列只有一题，而三角必考三题（恒等变换、图像与性质和解三角形各一题），反之则小题数列两题，而三角必考两题（恒等变换、图像与性质各一题）；解析几何大题两大一小，大题经常考椭圆，抛物线时而“客串”；概率与统计一大一小等，其中大题以考查统计为主、概率为辅。发现这些“定式”，我们就逐渐地摸清了它的脾气，“顺着”它，它就不会太“亏待”我们。我省以前的自主命题卷，各个知识点在试卷中的位置不固定，复数有可能成为小题压轴题，立体几何也有可能成为大题压轴题。

随着计算机的飞速发展和广泛应用，大数据已经是这个时代的主题，利用统计法对数据进行分析处理是我们必须掌握的一项技能，但是，处理数据的方法不是只有统计这一种方法，还可以用传统的数学工具进行分析处理。

基于以上几点考虑，我就想命制一道能利用数列工具解决生活实际的概率题，而且这样的试题更贴近学生的日常生活。

二、磨制过程

1.取材

原题是2011年5月莆田市高中毕业班质量检查（理科）第16题：随机变量X的分布列如下表所示，若数列{Pn}是以P1为首项，以q为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q（P1，q）。现随机变量X∽Q（—，2）。

（1）求n 的值并求随机变量X的数学期望E（X）；

（2）一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X。现又放回，从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率。

2.设计过程

该原型题有别于过去的数列概率交汇题，以往的这类交汇题大多轻数列重概率，或者轻概率重数列。该原型题很好地解决了以上不足，可是它也犯了过去题型的通病，就是两个知识点交汇的不够自然，特别是第二小题中的标号n与随机变量X脱节，而且情景很僵硬。

第一次磨制：

①简化题干。让学生更易理解什么是等比分布，并且为了方便概率题的命制，将X的取值改为0，1，2，…，n-1。

②原型题的第一小题本打算考查错位相减法，但是由于首项、公比、项数的数据小，考生可以回避错位相减法。数列的重要知识与方法没得到考查，没办法体现数列应有的地位。因此，第一小题直接设计为：

（Ⅰ）求随机变量X的数学期望E（X）。

③对于第二小题，本人选取了当代高中生最为熟悉的一项运动——篮球作为概率题的情景。初步设计为：

（Ⅱ）在某体育直播室转播某篮球职业联赛的过程中，用一个六位数的电子示数器抽取幸运观众，示数器上的六个数字都是由服从等比分布的随机变量 X随机生成的，该随机变量X∽Q（—，2），主持人通过示数器随机抽取一个六位数，如果该六位数与互动观众的手机号码的最后六位数一致，则该观众被选为幸运观众，可获得某球星战靴。求手机号码为13XXX978111的观众获得某球星战靴的概率。

第二次磨制：

①在确定第一小题的答案时发现，用错位相减法求E（X）时，要对公比q进行分类讨论，而且计算量相当大。虽然分类讨论也是一个重要思想，要考查也不为过，但是由于这仅仅是第一小題，题目的切入点不能拔得太高，否则难度与第二小题对比会有头重脚轻的感觉。因此将第一小题改为：

（Ⅰ）若随机变量X∽Q（p1，2），求随机变量X的数学期望E（X）。

②我又发现两个小题联系不大，而且要让考生真正理解随机变量X，然后去求n，再找出n的取值是1，2，3，…，9，难度特别大，因此将第二小题拆成两个小题，这样既降低了难度，又增加了与第一小题的连续性和过渡性。让考生更易理解随机变量X 与六位数的关系。设计如下：

（Ⅱ）若随机变量X∽Q（—，2），求n的值；

（Ⅲ）在某体育直播室转播某篮球职业联赛的过程中，用一个六位数的电子示数器抽取幸运观众，示数器上的六个数字都是由条件（Ⅱ）的随机变量 X 随机生成的，主持人通过示数器随机抽取一个六位数，如果该六位数与互动观众的手机号码的最后六位数一致，则该观众被选为幸运观众，可获得某球星战靴。求手机号码为13XXX978111的观众获得某球星战靴的概率。

第三次磨制：在研读题目后发现，最后一问没办法体现概率解决实际问题的功能，因此又添了一个问题：有人怀疑该示数器被做了手脚，你认为呢？请说明理由。这样既考查了考生的探究能力，又考查了考生的情感态度与价值观，更加符合课改精神。

第四次磨制：为了使题目的情景更加严谨，经过多次研读和揣摩，决定添加注释：“每次转播只抽取一次，如果抽取的六位数和所有参与互动的观众的手机号码的最后六位数不一致，那么该次转播就没有幸运观众”。

第五次磨制：经过深思发现本题层次不足，第一小题难度过大，无法送分，因此将第一与第二小题对调。

3.最终题目内容

随机变量X的分布列如下表所示，若数列{Pn}是以P1为首项，以q为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为X∽Q（P1，q）

（Ⅰ）若随机变量X∽Q（—，2），求n的值；

（Ⅱ）若随机变量X∽Q（p1，2），求随机变量X的数学期望E（X）；

（Ⅲ）在某体育直播室转播某篮球职业联赛的过程中，用一个六位数的电子示数器抽取幸运观众，示数器上的六个数字都是由条件（Ⅰ）的随机变量X随机生成的，主持人通过示数器随机抽取一个六位数，如果该六位数与互动观众的手机号码的最后六位数一致，则该观众被选为幸运观众（每次转播只抽取一次，如果抽取的六位数和所有参与互动的观众的手机号码最后六位数不一致，那么该次转播就没有幸运观众），可获得某球星战靴。①求手机号码为13XXX978111的观众获得某球星战靴的概率；②有人怀疑该示数器被做了手脚，你认为呢？请说明理由。

如果全国一卷能在样式上做些改变，能更加贴近学生的生活实际，它将会越变越有趣。

参考文献：

[1]胡耀华，杨雪艳.新课程标准下的教学高考试卷分析——以部分身份2012年数学高考试卷为例[J].考试研究，2013（5）.

[2]傅 敏，刘 燚.论现代教学教师的能力结构[J].课程·教改·教法，2005（4）.