鲜 明， 周训伟，鲜 子

(1.辽宁省抚顺市地理信息局， 辽宁 抚顺 113008；2.北京联合大学 北京市信息服务工程重点实验室， 北京 100101；3.辽宁省抚顺市图书馆， 辽宁 抚顺 113006)

3x+1问题[1]是L.Collatz于1937年提出的一个数学猜想，也称为Collatz问题、3x+1映射、Hasse’s 算法、角谷问题等。尽管有人[2]声称证明了3x+1问题，但一直不被人们所接受。M.R.Feix 和J.L.Rouet[3]，M.Chamberland[4]提出的方案也无效。文献[5-13]只是阶段性成果。E.Belaga[14]甚至怀疑3x+1问题的可证性。与此不同，本文将3x+1问题等价地变换成全奇项3x+1序列，由此导出等项方程式，将归纳法用于该等项方程式，最终证明3x+1问题为真。

1 3x+1问题与全奇项3x+1序列

3x+1问题可用自然语言描述如下：从任意给定的正整数n出发，当它为偶数时就除以2，当它为奇数时就乘3加1；对每次所得结果重复上述运算，最终必能得到奇数1。例如：n=52，其运算结果为：26、13、40、20、10、5、16、8、4、2、 1。

称上面的描述为3x+1问题的原始描述，为更清晰地描述并最终解决3x+1问题，引入“去偶”概念。设n=2ir，其中r∈No，i≥0，将n变为r的过程称为去偶过程或去偶运算，简称去偶。用“β()”表示去偶函数，即：β(n)=β(2ir)=(2ir)/2i=r。当n∈No时，β(n)=n。

根据上述定义可知：对于任一正整数n来说，必有β(n)∈No， 因此可以简化3x+1问题。尽管3x+1问题所提出的被考察对象为任意正整数，但据3x+1问题的原始描述可以知道，假设从给定的“正整数n出发”，而当n=2ir(r∈No)时，需先进行i次除以2而得到r的工作，亦即首先要完成一个“去偶过程”。因此，可以把被考察对象n(n∈N)变为r(r∈No)，而这种变化决不会对3x+1问题的本质产生任何影响。

根据去偶概念，3x+1问题可简述为：从任一正奇数r出发，反复进行乘3加1再去偶的运算，必在有限步骤内得到奇数1。……