董朦朦，刘兴祥，田雨禾

(延安大学 数学与计算机科学学院， 陕西 延安 716000)

J.Dénes和A.D.kecdWell[1]在1988年的American Mathematical Monthly中发表了题为“A Conjecture Concerning Magic” 的文章,提出了问题： “任何幻方是否都能表示为两个正交方阵之和，其中之一为行拉丁方，另一个为列拉丁方。”历年来,关于矩阵的分解已有很多方法[2-7]，但对幻方的分解还尚未研究。本文应用幻方、行拉丁方、列拉丁方以及正交拉丁方的定义，结合矩阵分解知识对幻方进行分解。

1 预备知识

定义1[8]若矩阵A=(aij)m×m∈Fm×m满足：

则称矩阵A为数域F上的m阶和幻方,并称S为m阶和幻方A的幻和;Sc为m阶列和幻阵A的列幻和;Sr为m阶行列和幻阵A的行幻和。

定义2[9]设矩阵A=(aij)m×m∈{a+1,a+2,…,a+m2}m×m,a∈Z,若矩阵A满足

④ aij=akl(i≠k或j≠l, i, j, k, l=1,2,…,m)。

则称矩阵A为数域F上的m阶连元和幻方,并称S为m阶连元和幻方A的幻和。

定义3[9]设矩阵A=(aij)m×m∈{1,2,…,m2}m×m,若矩阵A满足

④ aij=akl(i≠k或j≠l, i, j, k, l=1,2,…,m)。

则称矩阵A为数域F上的m阶始元和幻方，并称S为m阶始元和幻方A的幻和。

定义4[10]设矩阵A=(aij)n×n∈Sn×n,n∈N*,其中S={x1,x2,…,xn},对于∀i,j∈{1,2,…,n},i≠j时有xi≠xj,满足以下条件：

① 若∀i,j,k∈{1,2,…,n},且j≠k有aij≠aik恒成立;

② 若∀i,j,k∈{1,2,…,n},且i≠j有aik≠ajk恒成立。

则称矩阵A=(aij)n×n为S上的n阶拉丁方。

定义5[2]设矩阵A=(aij)n×n∈Sn×n,n∈N*,其中S={x1,x2,…,xn},对于∀i,j∈{1,2,…,n},i≠j时，有xi≠xj,且∀i,j,k∈{1,2,…,n},有j≠k时，aij≠aik恒成立,则称矩阵A=(aij)n×n为S上的n阶行拉丁方。

定义6[10]设矩阵A=(aij)n×n∈Sn×n,n∈N*,其中S={x1,x2,…,xn},对于∀i,j∈{1,2,…,n},i≠j时，有xi≠xj,且∀i,j,k∈{1,2,…,n},i≠j时，aik≠ajk恒成立,则称矩阵A=(aij)n×n为S上的n阶列拉丁方。

定义7 设矩阵A=(aij)n×n、B=(bij)n×n∈Sn×n是两个n阶拉丁方,若对于序偶阵C=⎣(aij,bij)」n×n中,对于∀i,j∈{1,2,…,n},当i≠k或j≠l时,(aij,bij)≠(alk,blk)恒成立,则称矩阵A和矩阵B正交,或称矩阵A与B是互相正交的矩阵。

注：下文所用ei均为n维行向量。

2 主要结论

证明先证矩阵A满足幻方的条件。

1) 当n=2k+1时,对由定理1构造出的矩阵

观察知：矩阵B的各行的元素都是1,2，…，2k,2k+1的全排列,故称矩阵B为n阶行拉丁方。

2) 对由定理1构造出的矩阵