广东省佛山市南海区狮山石门高级中学(528225) 徐正印 李妙珊

分段函数与函数的零点的交汇问题在近年的高考试题中常常出现.由于解决这类题目涉及到函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等性质,其过程融合了数形结合、导数法、分离参数、等价转化等数学方法,加之这类题目能较好地反映学生分析和解决问题的能力,因此,此类题目出现频率较高.本文对近年高考试题中的这类问题进行归类分析,便于读者能熟练地掌握其解题要领.

题型一 确定零点的值

解方程组法,即先求出分段函数的表达式,再分别解方程组.

例1(2014年高考湖北卷文科)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2−3x,则函数g(x)=f(x)−x+3的零点的集合为()

分析当x＜0时,−x＞0,f(−x)=x2+3x.因为f(x)是奇函数,所以f(−x)=−f(x),−f(x)=x2+3x,

题型二 确定零点的个数

1.解方程 (组)法

例2(2011年高考山东卷理科)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x＜2时,f(x)=x3−x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )

A.6 B.7 C.8 D.9

分析解x3−x=0得:x=0或x=1,所以y=f(x)的图象在区间[0,2)上与x轴的交点为2个.因为f(x)是最小正周期为2的周期函数,所以y=f(x)的图象在区间[2,4)和[4,6)上与x轴的交点各有2个.因为f(6)=0,所以y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为7.

类似地有

题目1(2012年高考辽宁卷理科)设f(x)(x∈R)满足:f(−x)=f(x),f(x)=f(2−x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3.函数g(x)=|xcos(πx)|,则h(x)=g(x)−f(x)在上的零点个数为( )

A.5 B.6 C.7 D.8

2.利用函数的单调性

不难理解:若函数f(x)在[a,b]上单调递增(减),且f(a)f(b)＜0,则f(x)在[a,b]上只有一个零点.

例3(2014年高考福建卷文科)函数f(x)=的零点个数是____.

分析(i)解f(x)在(−∞,0]有一个零点.

(ii)当x∈(0,+∞)时,,f(x)单调递增.f(1)=−4＜0,f(e)=2e−5＞0,f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.综上所述得到:f(x)零点个数……