广东省佛山市南海区狮山石门高级中学(528225) 徐正印 李妙珊

分段函数与函数的零点的交汇问题在近年的高考试题中常常出现.由于解决这类题目涉及到函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等性质,其过程融合了数形结合、导数法、分离参数、等价转化等数学方法,加之这类题目能较好地反映学生分析和解决问题的能力,因此,此类题目出现频率较高.本文对近年高考试题中的这类问题进行归类分析,便于读者能熟练地掌握其解题要领.

题型一 确定零点的值

解方程组法,即先求出分段函数的表达式,再分别解方程组.

例1(2014年高考湖北卷文科)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2−3x,则函数g(x)=f(x)−x+3的零点的集合为()

分析当x＜0时,−x＞0,f(−x)=x2+3x.因为f(x)是奇函数,所以f(−x)=−f(x),−f(x)=x2+3x,

题型二 确定零点的个数

1.解方程 (组)法

例2(2011年高考山东卷理科)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x＜2时,f(x)=x3−x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )

A.6 B.7 C.8 D.9

分析解x3−x=0得:x=0或x=1,所以y=f(x)的图象在区间[0,2)上与x轴的交点为2个.因为f(x)是最小正周期为2的周期函数,所以y=f(x)的图象在区间[2,4)和[4,6)上与x轴的交点各有2个.因为f(6)=0,所以y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为7.

类似地有

题目1(2012年高考辽宁卷理科)设f(x)(x∈R)满足:f(−x)=f(x),f(x)=f(2−x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3.函数g(x)=|xcos(πx)|,则h(x)=g(x)−f(x)在上的零点个数为( )

A.5 B.6 C.7 D.8

2.利用函数的单调性

不难理解:若函数f(x)在[a,b]上单调递增(减),且f(a)f(b)＜0,则f(x)在[a,b]上只有一个零点.

例3(2014年高考福建卷文科)函数f(x)=的零点个数是____.

分析(i)解f(x)在(−∞,0]有一个零点.

(ii)当x∈(0,+∞)时,,f(x)单调递增.f(1)=−4＜0,f(e)=2e−5＞0,f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.综上所述得到:f(x)零点个数为2.

类似地有

题目2(2010年高考福建卷文理科)f(x)=的零点个数为( )

A.3 B.2 C.1 D.0

3.利用函数的图象

把所求零点个数的问题转化为一个不含参数的分段函数的图象与一定直线的交点个数问题.

例4(2015年高考天津卷文科)函数f(x)=则y=f(x)−g(x)的零点的个数为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

图1

分析因为y=f(x)−g(x)=f(x)+f(2−x)−3,所有y=f(x)−g(x)零点个数⇔y=f(x)+f(2−x)的图象与y=3的图象交点的个数.因为y=f(x)+f(2−x)的图象关于直线x=1对称,所以只需要研究y=f(x)+f(2−x)(x≥1)与y=3的交点情况.因为所以其图象如图1,可见y=f(x)−g(x)的零点的个数为2.

类似地有

题目3(2015年高考江苏卷文理科)已知函数则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为____.

题型三 确定参数的取值范围

(一)分段函数不含参数

1.利用函数的图像

方法1转化为y=f(x)的图象与斜率为零的直线的交点问题.

例5(2015年高考天津卷理科)若f(x) =其中b∈R,y=f(x)−g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()

图2

分析因为y=f(x)−g(x)=f(x)+f(2−x)−b,所以y=f(x)−g(x)恰有4个零点⇔y=f(x)+f(2−x)与y=b恰有4个交点.因为y=f(x)+f(2−x)的图象关于直线x=1对称,所以只需要研究y=f(x)+f(2−x)(x≥1)与y=b有4个交点.的图象如图2,可知

类似地有

分析g(x)=f(x)+x+a存在2个零点⇔y=f(x)的图象与y=−x−a的图象恰有2个交点.作y=f(x)与y=−x−a图象,如图3,可见:选C.

图3

图4

分析g(x)=f(x)−mx−m在(−1,1]内有且仅有两个不同的零点⇔y=f(x)(x∈(−1,1])与y=m(x+1)(x∈(−1,1])恰有2个交点.y=f(x)(x∈(−1,1]),y=m(x+1)(x∈(−1,1])图象如图4,可见选A.

方法4转化为y=f(x)的图象与从原点出发的射线的交点问题.

例8(2014年高考天津卷)已知函数f(x)=零点,则实数a的取值范围为____.

图5

分析y=f(x)−a|x|恰有4个零点⇔y=f(x)的图象与y=a|x|的图象恰有4个交点.(i)当a≤0时,y=f(x)与y=a|x|不可能有交点.(ii)当a=1时,y=f(x)与y=a|x|有3个交点.(iii)当a=2时,y=f(x)与y=a|x|有3个交点.由图5可知:1＜a＜2.

(二)分段函数含有参数

例9(2015年高考湖南卷)已知f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)−b有两个零点,则a的取值范围是____.

方法1(解不等式组)问题等价于方程x3=b(x≤a)与方程x2=b(x＞a)的根的个数和为2.(i)若两个方程各有一个根,则可知关于b的不等式组有解,从而a＞1.(ii)若方程x3=b(x≤a)无解,方程x2=b(x＞a)有2个根:则可知关于b的不等式组有解,从而a＜0.综上所述,实数a的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞).

方法2(利用函数的图象)若存在实数b,使函数g(x)=f(x)−b有两个零点⇔存在实数b,使y=f(x)的图象与y=b有两个零点

(i)当a＜0时,图象如图6,当0＜b≤a2时,y=f(x)的图象与y=b有两个交点.

(ii)当a=0时,y=f(x)图象如图7,y=f(x)的图象与y=b只有一个交点.

(iii)当0＜a＜1时,y=f(x)图象如图8,y=f(x)的图象与y=b与最多有一个交点.

(iv)当a=1时,y=f(x)图象如图9,y=f(x)的图象与y=b只有一个交点.

(v)当a＞1时,y=f(x)图象如图10,当a2＜b≤a3时,y=f(x)的图象与y=b恰有两个交点.

综上所述:a的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞).

图6

图7

图8

图9

图10

类似地有

题目7(2015年北京卷理科)设函数

(I)略;(II)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是___.

题目8(2016年山东卷理科)已知函数

题目9(2016年天津卷理科)已知函数

(a＞0且)在 R上单调递减,关于x的方程|f(x)|=2−x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是( )