广东省广州市广东广雅中学(510160) 徐广华

在近几年全国各地的高考试题和模拟试题中,函数、导数与不等式的综合问题一直倍受命题者的青睐,经常扮演压轴题的角色.其中,不等式恒成立问题是函数与导数综合考查的重点和热点内容.不等式恒成立问题,主要有两种类型:一是已知不等式恒成立,求参数的取值范围;二是证明不等式恒成立.本文重点研究第一种类型中的难点问题.

已知不等式恒成立,求参数的取值范围,一般有两种基本方法:一是“参数分离法”,即将参数分离到不等式的一边,化为形如k＞g(x)(或k＜g(x))对任意x∈D恒成立,若g(x)在区间D内存在最大值(或最小值),则问题等价转化为k＞g(x)max(或k＜g(x)min)(口诀:“大于大的,小于小的”);二是“移项构造函数法”,即f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))对任意x∈D恒成立⇔F(x)=f(x)−g(x)＞0(或F(x)＜0)对任意x∈D恒成立,若F(x)在区间D内存在最小值(或最大值),则问题等价转化F(x)min＞0(或F(x)max＜0).

一般而言,以上两种基本方法中,“移项构造函数法”是通法,具有普遍性,但在求F(x)的最值时由于含有参数,因此往往要分类讨论,比较麻烦;而“参数分离法”往往比较简单,原因是g(x)不含参数,因此在解题时一般优先考虑这种方法.但在实际操作中,我们也常常碰到这种情况:分离参数后,求g(x)的最值时,对g(x)求导后,发现方程g′(x)=0的根没法具体地求出来,往往就此陷入困境,这说明“参数分离法”并非万能,也有其局限性!全国卷高考函数导数的压轴题,大多属于这种类型.

笔者经过研究,发现解决这类难点问题有其“秘笈”,本文举例分析说明破解不等式恒成立求参数取值难点问题的“绝招”:移项构造函数求导后“再导一遍”,放缩寻找分类讨论的分界点.

例1(2007全国I卷理20)设函数f(x)=ex−e−x.

(I)证明:f(x)的导数f′(x)≥ 2;

(II)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.

分析(I)略.(II)移项构造函数:F(x)=f(x)−ax=(利用基本不等式,放缩找到讨论的分界点),当x≥0时,F′′(x)=ex−e−x≥ 0⇒F′(x) 递增.(“再导一遍”,研究F′(x)的单调性)

分类讨论:[1]当a≤2时,F′(x)≥2−a≥0⇒F(x)递增⇒x≥0时,F(x)≥F(0)=0恒成立.(肯定)

[2]当a＞2时,令,解得方程的根为:时,F′(x)＜F′(x0)=0⇒F(x)递减⇒F(x)＜F(0)=0,这说明:当a＞2时,F(x)≥0对x≥0不恒成立.(否定)

综上,a的取值范围是(−∞,2].(下结论)

另法:分离参数后,用高等数学中的“罗比塔法则”(又叫“洛必达法则”).当x=0时,f(x)=ax=0;当x＞0时,分离参数得:故a≤2.(不够严谨,未必能得满分!)

例2(2010全国课标卷理21)设函数f(x)=ex−1−x−ax2.

(I)若a=0,求f(x)的单调区间;

(II)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.

分析(I)略.(II)f′(x)=ex−1−2ax,当x≥ 0时,f′′(x)=ex−2a≥ 1−2a(“再导一遍”,放缩找到讨论的分界点),且f′′(x)递增.

综上,a的取值范围是.(下结论)

另法:分离参数后,用高等数学中的“罗比塔法则”(又叫“洛必达法则”).当x=0时,f(x)=0;当x＞0时,分离参数得:.(不够严谨,未必能得满分!)

最后,笔者提炼总结一下,这类问题的适用类型与破解方法、步骤,与广大同行分享探讨:

1.适用类型:已知不等式对任意x∈D恒成立,求参数a的取值范围.但用“参数分离法”分离参数后,对另一边的具体函数g(x)求导,方程g′(x)=0的根求不出,函数g(x)的最值也无法求出来.

2.破解方法:移项构造函数F(x),求导后“再导一遍”,通过简单的放缩,寻找分类讨论的分界点.

3.讨论步骤:由分界点确定讨论参数a的取值范围:

[1]当a∈M时,求导、单调性法证明不等式对任意x∈D恒成立,满足题意(肯定);

[2]当a/∈M时,由零点存在性定理,证明方程F′(x)=0或F′′(x)=0有实根x0,找到与x0相关的反例区间E且E⊆D,由单调性法证明当x∈E时不等式不成立,从而说明不等式对任意x∈D不恒成立(否定);

综上,a的取值范围是a∈M(下结论).