安徽马鞍山市四村小学教育集团（243000）

教材四年级下册“运算定律”这一单元，总能听到很多教师抱怨：“学生怎么就找不到乘法分配律中的公因数呢？”“三个数、四个数连乘，肯定是用乘法交换律或是结合律，这些孩子怎么会用上乘法分配律呢？”“学完整个单元后，学生出现的错误简直五花八门，一片混乱。”……

除了五条基本运算定律外，连减、连除的简便计算以及加减、乘除的灵活应用等相关内容也被编排在“运算定律”这一单元。整个单元知识点系统全面，但对于四年级的学生来说，却具有一定难度，其中的乘法分配律似乎成了学生很难跨越的“坎”。

运算定律 运算性_质___________________________________________名称___加法_______________________交换律___加法__________________结合律___乘法_______________________交换律乘法结合律____________乘法分配律_____________减法的运算性质字母表达式____________a+b=b+a_____________（a+b）+c=a+（b+c）________a×b=b×a_____________（a×b）×c=a×（b×c）_________（a+b）×c=a×c+b×c__________a-b-c=a-（b+c）除法的运算性质a÷b÷c=a÷（b×c）（b≠0 ，c≠0）

从上表可以看出，与其他只包含单一运算的运算定律和性质相比，乘法分配律含有乘法与加法两种运算，思维含量较高。同时，乘法分配律与乘法结合律在形式上最为相似，也给学生造成一定的干扰。如果只重视乘法分配律外在形式的识记与模仿，忽略对其本质意义的理解，学生自然会出现（a×b）×c=（a+b）×c、（a+b）×c=a×c+b之类的错误。

当学生出现错误时，如果能结合具体的情境，将直观的形与抽象的数一一对应，将有助于学生深刻理解乘法分配律的内在本质，从而有效建构抽象的运算律。

【错例一】（提取练习）38×36+64×38

图1

分析：从乘法分配律的字母表达式来看，其应用是双向的。从左往右看，从（a+b）×c到a×c+b×c是分解式思维；从右往左看，a×c+b×c到（a+b）×c是提取式思维。“从左往右”的应用符合学生的认知习惯，“从右往左”则让一些学生如同雾里看花。

对策：

师（出示：401班为38名女生统一购买表演服装，其中上衣36元，裙子64元，一共花了多少钱？）：你能列出算式吗？

生1：38×36+38×64，38×36表示38件上衣的总价，64×38表示38条裙子的总价，再把它们加起来，就是一共花的钱数。

生2：我觉得这样计算比较麻烦。上衣和裙子都要买38件，可以先算“一套衣服的价格”，再乘38。列式为（36+64）×38。

师：这是生活中常见的购物问题，虽然两个算式“长”得不一样，但都能解决这个数学问题。

生3：38×36+38×64=（36+64）×38，这就是运用了乘法分配律。

师：用不同颜色的笔在图（如图2）上圈一圈，表示这两种算法。

图2

生4：虚线框表示分别算出上衣和裙子的总价，再相加。实线框表示先把每套衣服算出来，36+64正好等于100元，一共38套，再用100乘38就行了，计算很方便。

图3

师（出示图1）：有位同学计算38×36+64×38时遇上了麻烦，虽然也想到了乘法分配律，却越做越觉得不对劲。你有什么看法？

生5：我觉得36和38很接近，他是不是搞不清哪个才是公因数？

生6：这可以和刚才的买衣服问题联系起来，只不过64和38调换了位置，相当于运用了乘法交换律。

生7：我建议在观察算式后，把38圈起来，这样就不会错了。

生8：38×36可以理解为36个38，64×38可以理解为64个38，这样一共是（36+64）=100个38，怎么可能是102个36呢？

【错例二】（对比练习）25×44

图4

分析：简便计算本身就是一个开放的思维过程。25×44，既可以把44拆成40和4的和，运用乘法分配律，也可以把44看作4和11的积，运用乘法结合律。正因为方法的不唯一，有些学生就会张冠李戴、混淆不清。

对策：

师（出示图4）：这样计算对吗？

生1：44应该是40和4相加，不是相乘。

生2：如果将两个数相乘，变成三个数连乘，应该把44看成4和11相乘，见25“想”4,25×4的积再乘11，结果应该是1100。

生3：这是把乘法分配律和乘法结合律混在一起了。

师（出示：在广场表演中，有44支队伍，每支队伍25人，一共有多少人？）：这道题可以列式为“25×44”吗？

生4：列式正确。“一共有多少人”就是求44个25是多少，所以用乘法计算。

师：在三年级学习“两位数乘两位数”时，我们借助点子图来理解算理。今天计算“25×44”，我们也在点子图上圈一圈、分一分，感受不同的算法。

学生独立完成，展示：

图5

师：对比图5中的两种算法，你有什么发现？

生5：如果想把44分成40和4两部分，那只能运用乘法分配律，25要和40相乘，也要和4相乘，最后把两个积相加。

生6:25和4相乘是100,44里面有11个4，所以这实际上是乘法结合律，本来是4先和11相乘，现在是25先和4相乘，然后再乘11。

生7：这两种方法都很方便，就看是想拆成和还是积。

生8：25×44=25×40+25×4，其实就是44个25等于40个25加上4个25,25×44=25×4×11，表示44个25等于11个25×4。

【错例三】（变式练习）99×99

图6

分析：一些本身不具备乘法分配律特征的习题，通过变式，可以还原成基本模型题。大多数学生简算99×99时会想到99×（100-1），个别学生反而“想多了”，变式为（100-1）×（100-1），说明这些学生并没有将乘法分配律的本质纳入自身的知识结构中。

对策：

师：看到99×99，能让你联想到我们学过的平面图形吗？

生1：我想到正方形，正方形的面积就是“边长×边长”。

师：想象一个边长是99米的正方形果园，果园的面积就是99×99。怎样计算呢？

生2：99×99表示99个99，可以用100个99减去1个99，也就是99×100-99。

师（出示图7）：想象一下，这个果园的一条边长增加1米，就是100米。现在果园是什么形状的？增加的部分又是什么形状呢？

图7

生3：现在的果园是一个长100米、宽99米的长方形，增加部分也是一个长方形，长99米、宽1米。

师：99×99=99×100-99×1，谁能结合图7说说每一步的含义？

生4：99×99是原来正方形的面积，99×100-99×1是增加后的长方形面积减去增加的长方形面积。

师：从乘法的意义和面积图的含义两方面来看，这种算法能说得通。

师（出示图6）：有位同学想到99接近100，所以他把99×99转化成（100-1）×（100-1），这样行吗？

生5：不行。乘法分配律不论是两个数相加的和还是两个数相减的差，都要乘一个相同的数。他这样做，括号里都是两个数的差，变成了四个数，这怎么乘呢？

师：如果觉得不好理解，试着发挥你们的联想功能。把正方形果园的边长从99米增加到100米，变成一个更大的正方形。那100×100、100×2分别表示什么?

生6：100×100表示增加后的正方形面积，100×2其实是两个长100米、宽1米的长方形面积之和。

师：看上去似乎也能说得通，是不是还有什么被我们忽略了？

生6：我知道他出错的原因了。这两个长100米、宽1米的长方形里，重叠了一个边长是1米的小正方形。如果从100×100里减去2个100×1的话，等于减去了2次小正方形面积，所以还要加上1×1。

师（出示图8）：从算式的角度观察只知其错，和图形结合起来，我们才能知其错因。

图8

反思：

对于学生来说，运算定律的提炼与概括具有高度的抽象性。但学生不是一张白纸，他们在学习乘法分配律之前已经积累了大量的知识与活动经验，如学习乘法口诀（如图9-1）、长方形周长的计算方法（如图9-2）、两位数乘两位数的笔算方法（如图9-3）时，都在不知不觉中运用了乘法分配律。教师要引导学生用好这些经验，完成知识学习的迁移过程，从而帮助学生将原来零散的感性认识上升到理性认识，让学生能够在回忆中逐步建立数形模型。

图9-1

图9-2

图9-3

学生出错在所难免，但即使出现错误，也要错得明明白白。教师要在生活中寻找与运算定律相关的素材，从图形出发，以图形为载体，注重数形结合，在数形中加深学生对意义的理解，多维度促进学生对乘法分配律意义的建构，从而帮助学生理解并灵活应用运算定律。