高考数学压轴题求解范围问题常用方法之讨论法

2018-09-06张秋平

新丝路（下旬） 2018年5期

关键词：定义域零点单调

张秋平

求范围问题是高考常考的热门题型之一，常用的方法有分离法，图像法，解不等式法，讨论法，其中讨论法难掌握，什么时候用，怎么用，一直困扰着老师和学生，本文就近年高考数学中出现的范围问题怎么用进行一些探讨。

一、由极值的正、负，零及范围讨论

1.【2017课标1，理21】已知函数f（x）=ae2x+ （a-2）ex-x

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

【解析】：（1）的定义域为，，

（ⅰ）若则，则，所以在单调递减.

（ⅱ）若a>0，则由得.

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.

（ⅱ）若a>0，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即.

又，故在有一个零点.

设正整数满足，則.

由于，因此在有一个零点.

综上，的取值范围为.

此方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、最值，对最值的范围进行研究。

2.【2015高考新课标课标2，理21】设函数 f（x）=emx+x2-mx。

（I）证明： f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；

（II）若对于任意x1，x2∈[-11]，都有|f（x1）- f（x2）|≤e-1，

求m的取值范围。

解析：（I）f '（x）=m（emx-1）+2x，

若m≥0，则当x∈（-∞，0），emx-1≤0，f '（x）<0

当x∈（0，+∞），emx-1≥0，f '（x）>0

若m<0，则当x∈（-∞，0）emx-1>0，f '（x）<0

当x∈（0，+∞），emx-1<0（x）>0

所以，f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。

（II）由（I）知，对任意的f（x）在[-1，0]单调递减，在 [0， 1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值，所以对于任意x1，x2∈[-1，1]，

|f（x1）- f（x2）|≤e-1的充要条件是

设函数，则g‘（t）=et-1。当t<0时，g‘（t）>0。；当t>0时，g‘（t）>0。故在g（t）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。又g（1）=0，g（-1）=e-1+2-e<0故当t∈[-1，1]时，g（t）≤0.当m∈ [-1，1]时，g（m）≤0，g（-m）≤0即①式成立。当m>1时，由，g（t）的单调性，g（m）>0即em-m>e-1当m<-1时，g（-m）>0，即em+m>e-1。综上，m的取值范围是[-1，1]。

二、由单调性分类

3.【2006全国，理21】已知函数。

（I）a>0设，讨论y=f（x）的单调性；

（II）若对任意x∈（0，，1），恒有f（x）>1，求a的取值范围。

解析：（I）f（x）解略的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），对求导数得f（x）在（-∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f（x）在（-，）为减函数。

（II）（i）当0f（0）=1。

（ii）a>2当时，取，则由（I）知f（x0）>f（0）=1。

（iii）

综上，当且仅当a∈（-∞，2]时，对任意x∈（0，1），恒有f（x）>1。

4.【2011新课标，理21】已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.

（1）求a，b的值

（2）如果当x>0，且时x≠1，，求k的取值范围。