王 雷， 王少华， 张耀辉

(陆军装甲兵学院装备保障与再制造系， 北京 100072)

传统的预防性维修方式通常采用定时维修模型，常常导致“维修不足”或“维修过剩”。基于状态的维修(以下简称“状态维修”)[1]是通过对系统的技术状态参数及其变化进行连续或定期的检测，以确定部件劣化程度，及时发现潜在故障，预测系统状态变化和发展趋势，适时安排预防性维修的一种维修方式，是维修领域的研究热点。在进行状态维修决策时，通常将系统看作一个整体，借鉴单部件系统的思想进行状态维修决策优化建模。在工程实践中，大多数多部件系统也是以其中某一关键部件的技术状态为依据进行维修决策。因此，单部件的状态维修决策优化建模研究具有重要的意义。按照对系统劣化状态的描述，维修决策模型研究主要分为离散变化和连续变化2种情况：采用马尔科夫链及相关理论刻画系统劣化状态为离散变化的情况；采用Gamma过程和比例风险模型等刻画系统劣化状态为连续变化的情况。贾希胜[2]基于延迟时间理论，采用Gamma分布描述了机械磨损过程，建立了以单位时间费用最小为目标的功能检测模型；程志君等[3]针对系统存在故障维修延迟的情况，采用Gamma过程刻画了系统连续劣化规律，采用周期检测策略建立了以维修费用最低为目标的状态维修决策模型;苏春等[4]基于半马尔科夫决策过程，以部件长期折扣成本最低为目标，建立了状态维修决策模型，可以有效描述离散状态下齿轮箱、叶片等风力机核心机械部件的性能退化和维修优化问题；王少华等[5]采用威布尔比例风险模型建立了状态维修决策模型，为降低装备寿命周期费用提供了方法支撑；朱田玮等[6]结合状态监测与风机齿轮箱的故障规律，建立了威布尔比例风险模型，实施状态维修决策，降低了维修成本。

然而上述研究多是从系统维修费用角度出发进行状态维修决策建模，忽略了检测时间、维修时间对系统平均停机时间率的影响。系统平均停机时间率F是衡量大多数劣化系统维修效果的重要指标，是对系统在一定条件下无法正常工作的反映，其值为系统不能工作时间与总时间的比值。系统可用度A=1-F，由此可知：减小系统平均停机时间率可提高系统可用度。基于此，笔者采用Gamma过程描述部件的连续劣化状态，利用更新过程理论建立以系统长期运行平均停机时间率最小为目标的状态维修决策优化模型，采用蒙特卡罗方法同时优化系统检测间隔期与预防性维修阈值，为实施单部件系统的状态维修决策以及建立不同劣化部件组合的多部件系统维修决策模型奠定基础。

1 系统状态维修过程模型

1.1 系统状态随机劣化过程

根据系统部件劣化故障机理，性能劣化是损伤累积的结果。Gamma过程能较好地反映系统性能随着时间累积单调非减的劣化状态，被广泛用于描述系统的劣化过程。

根据部件劣化规律，因老化和磨损累积导致性能逐渐劣化，在状态检测上主要表现为磨损、振动、温度等劣化量，当检测到劣化量超过给定阈值时，系统便会发生故障。设X(t)为t时刻反映部件劣化程度的特征参数，则随机过程{X(t),t≥0}可用平稳Gamma过程来描述。对于Gamma过程，劣化量X(t)在每个时刻点上均服从Gamma分布，且满足以下条件：

1) 初始时刻t=0,X(0)=0,表示系统处于全新工作状态。随着时间累积，部件劣化状态X(t)逐渐增加，发生故障的可能性随之增大。

2) 对于任意时刻t12),劣化状态增量X(t2)-X(t1),…,X(tn)-X(tn-1)为相互统计独立的随机变量。

3) 根据稳态Gamma过程的性质[7]，对于随机过程{X(t),t≥0}且X(0)=0，有

X(t+τ)=X(t)+X′(τ),τ∈(0,∞)。

其中，劣化状态增量X′(τ)与X(t)相互独立，有相同的分布。对于任意t≥0,τ>0,劣化状态增量X(t+τ)-X(t)的分布仅与τ有关，而与t无关，且服从Gamma分布，记分布函数

G(X,τ)=P{X(t+τ)-X(t)≤x}

，

其概率密度函数

1.2 系统状态维修更新过程

在工程实践中，由于大部分装备部件并没有机内测试(Built In Test,BIT)设备，因此连续检测、在线检测手段与技术受到限制，系统实时状态数据的获取较为困难，通常需要通过定期检测来确定系统状态。频繁的检测便于掌握系统的状态信息，但是频繁停机会降低系统的工作效率；反之，过长的检测周期不利于及时掌握系统状态的变化，可能会导致系统因发生功能故障而不能正常工作。因此，检测周期过短或过长都会增加系统的停机时间，通常当系统劣化特征参数累积达到某个阈值时进行状态维修，以降低系统发生故障的概率。同理，预防性维修阈值过低会造成系统频繁的停机维修，过高则会增加系统发生故障的概率。因此，预防性维修阈值过高或过低也都会增加系统的停机时间。为了减少系统的停机时间，在系统劣化状态描述的基础上，需对系统的检测与维修策略进行优化分析。

设系统的维修方式有定期检测、预防性维修和修复性维修3类。为了简化模型，假设对系统关键部件只进行换件维修，即当部件达到故障阈值或预防性维修阈值时更换该部件，更换后部件的劣化状态恢复到初始投入使用时的状态，系统修复如新，即系统更新。检测方式为完全检测，即通过检测能完全确定系统所处的工作状态，每次检测耗时为tt。当部件进行定期检测(t=iτ,i=1,2,3,…，检测间隔期τ为待优化参数)、预防性维修和修复性维修时，系统不再发生劣化且处于停机状态。当劣化状态X(t)

由于大部分机械系统一般服从劣化失效规律，即故障是由磨损或外界侵蚀造成的，因此其劣化状态X(t)越高，其维修难度越大，表现为维修时间应满足tt

1.3 系统状态维修的平均停机时间率函数

根据模型的假设条件，为使系统工作时间尽可能长，应降低系统发生故障的概率，并减少系统停机检测的次数，因此，在系统劣化状态描述模型基础上，建立以系统长期运行平均停机时间率最小为目标的状态维修优化函数。记任意时刻t的停机累积时间为S(t)，根据更新过程理论[7]，系统长期运行平均停机时间率F可以看作一个更新周期的期望停机时间与期望时间的比值，即

设更新周期内系统发生更新时的检测次数为Ni，则更新周期的期望时间为

E(T)=E(E(T|Ni))=

式中：P(Ni=i)为更新周期内系统进行i次检测的概率。

相应地，更新周期的期望停机时间为

E(S(T))=E(Ni)tt+Pptp+Pftc，

式中：E(Ni)为更新周期内的平均检测次数；Pp为更新周期内系统需进行预防性维修的概率；Pf为更新周期内系统因发生故障而需要进行修复性维修的概率。

综上所述，建立系统状态维修的平均停机时间率目标函数：

(1)

2 系统状态维修优化策略的解析模型

为了确定状态维修模型中决策变量，即最佳检测间隔期τ和预防性维修阈值p，笔者建立了数学解析模型，针对目标函数给出了相应的求解方法。

2.1 更新周期期望停机时间E(S(T))的计算

首先确定更新周期内的平均检测次数[8]：

(2)

系统更新主要由2种情况构成：一种是进行预防性维修时系统更新；另一种是进行修复性维修时系统更新。由于系统故障特征明显，未到检测点时也可直观判断系统劣化状态超出故障阈值这一事件，因此当系统因发生故障而停机时，故障前一次检测为更新周期内的最后一次检测。

当劣化状态满足p≤X(t)

P′(Ni=i)=P{X((i-1)τ)

p≤X(iτ)

(3)

当劣化状态满足X(t)≥f时，t为任意值，系统故障特征不需检测便可直观判断，系统进行修复性维修后更新，则

P″(Ni=i)=P{(i-1)τ

(4)

根据劣化状态增量服从Gamma分布的性质，可得

(5)

同理，可得

(6)

式中：K(f,t)为故障时刻分布函数，且满足

(7)

即对于性能劣化型系统，当随机劣化量达到故障阈值f时，系统发生故障，不需检测便停机进行修复性维修，显然，系统故障时刻与停机维修时刻为同一时刻。

同理，系统更新时进行预防性维修和修复性维修的概率分别为

(8)

综合式(2)-(8)，便可确定更新周期期望停机时间E(S(T))的具体表达式。

2.2 更新周期期望时间E(T)的计算

计算更新周期内的期望时间E(T)时，只考虑检测和维修的时间，E(T)由预防性维修时更新周期期望时间Ep(T)和修复性维修时更新周期期望时间Ef(T)组成。

由于预防性维修导致系统更新，则

(9)

由于修复性维修导致系统更新，此时系统故障不需检测便可直观判断，且故障时刻tf与前一次检测时刻相关，则

(10)

式(10)中tf可由式(7)得到，则由式(3)、(4)、(9)、(10)，便可确定更新周期期望时间E(T)的具体表达式。

2.3 仿真优化求解

将E(S(T))和E(T)的具体表达式代入优化目标函数(1)，即可建立系统长期运行平均停机时间率F与决策变量p、τ之间的关系。利用蒙特卡罗方法对目标函数进行仿真求解[9- 10]，仿真算法流程如图3所示。

利用MATLAB软件进行编程，首先,对劣化量首次达到故障阈值的时刻tf进行数值模拟，得到一条样本轨迹；然后，根据优化得到的tf，与设置的部件劣化参数α、β、f，相应维修时间tt、tp、tc以及检测次数i等，遍历整数p、τ的取值空间，对目标函数进行仿真求解，得到系统平均停机时间率F与决策变量p、τ的最优值。其中：p的取值范围是小于f的整数；τ的取值范围是小于tf/i的整数。

3 案例分析

3.1 案例求解

假设某单部件系统的故障模式主要为机械磨损，根据Gamma分布参数的物理意义以及工程实践经验，确定部件劣化参数和相应维修时间如表1所示。

表1 部件劣化参数和相应维修时间

通过仿真算法得到的劣化量轨迹随时间累积呈线性单调非减的规律，如图4所示。其中，劣化量极大值、极小值曲线分别表示X(t)在一个时间步长上仿真劣化量的最大、最小值，2个曲线之间的区域表示X(t)的离散程度。由图4中劣化量平均值曲线可知：当部件的故障阈值f=10时，得到X(t)首次达到故障阈值的时刻tf=30天。

根据仿真算法，得到平均停机时间率F与决策变量p、τ的关系如图5所示。

3.2 结果分析

由图5得到系统长期运行平均停机时间率F与预防性维修阈值p和最优检测间隔期τ的关系，当p=7，τ=9天时，minF=5.57%。根据优化目标函数(1)可知:由于初期τ值过小，系统频繁停机检测，造成不必要的停机时间损失，使系统平均停机时间率F处于高值；随着τ增大，系统更新周期期望时间E(T)相应增大，使停机损失所占比重相应减小，F降低；当τ>9天时，由于检测周期过长，不能及时进行预防性维修，使系统因发生故障而增加大量停机时间，F相应增加。同理，过小的p值会造成系统过度维修，造成不必要的停机损失；过大的p值会增加系统发生故障的可能性。因此，决策变量p和τ二者共同作用，与优化目标F之间的关系曲面必然存在一个最低点，对应最小的F值与相应的p和τ，如表2中遍历求解得到的数据所示，说明本文优化方法是可行的。

表2 蒙特卡罗方法优化迭代所得F值

3.3 有效性对比

为了验证本文方法的有效性，在传统的定时维修模型中，设置相同的部件劣化参数和相应维修时间，利用3.1节仿真得到的tf=30天，采用仿真求解得出最优预防性维修间隔期L=10天，对应的系统平均停机时间率为8.33%。

由此可见：采用本文优化方法得到的预防性维修阈值p与检测间隔期τ进行维修决策，可以将更新周期内系统平均停机时间率从定时维修条件下的8.33%减小到5.57%，因此，从任务性和安全性相关指标来看，本文方法是适用且有效的。

4 结论

与从整体费用角度出发进行状态维修决策的系统相比，军用装备更看重从整体可用度角度出发进行状态维修决策。笔者考虑了检测时间、维修时间的影响，利用更新过程理论，以系统平均停机时间率最小为目标建立了系统状态维修决策优化模型，该模型可有效提高系统可用度。然而，本文在模型假设方面还有一定的局限性，对于电子系统等检测时间可能大于维修时间的情况，还有待进一步研究。