肖 峰， 甘勤涛， 黄 欣

(1. 陆军工程大学石家庄校区军政基础系，河北 石家庄 050003;2. 陆军工程大学石家庄校区学员十七大队， 河北 石家庄 050003)

近年来，随着复杂网络理论及其应用研究的不断深入，人们开始尝试运用新的理论工具来研究现实世界中的各种大型复杂系统，如因特网、生态系统、生物神经网络、城市交通网和社交网络[1]等。同步是自然界和人类社会中广泛存在的现象，同时也是复杂动态网络显著的动力学行为之一，复杂网络同步已成为网络科学的一个重要研究方向，且在诸多邻域得到应用，如：在通信系统和传感器网络等领域，复杂网络同步都发挥着重要的作用[2- 3]。

牵制控制[4- 6]和间歇性控制[7- 9]等是复杂网络同步控制的有效方法，其中牵制控制是通过控制一小部分节点使整个网络达到同步[10]，方法简单且经济。但现在的大多数牵制控制器均是连续的，且依赖于控制节点和目标系统的状态。在实际应用中，传输信号会不可避免地被外部所干扰，进而使得信号间歇性地变弱或者中断，这时连续时间的牵制控制便不再适用。

由于时滞是现实网络系统中一种十分普遍的现象，因此研究复杂动态网络同步中时滞的影响至关重要。在现实复杂动态网络模型中，需要考虑发生在系统内部节点自身的时滞，及因节点之间的信息交换而形成的耦合时滞，这2种时滞之间相互独立。WU等[7]所研究的复杂动态网络模型具有内部时滞与耦合时滞，但其研究的是复杂动态网络的渐近同步，即复杂系统达到同步不受时间的控制。而在实际应用中，复杂动态网络同步通常需要在有限时间内实现[8- 9,11]。因此，笔者在文献[7]研究的基础上，采用间歇性控制方法构造有限时间周期间歇性控制器，通过调整自适应控制强度使复杂动态网络在有限时间内实现同步。

1 问题描述

考虑由N个相同线性耦合节点构成的复杂时滞动态网络，第i个节点动态描述如下：

(1)

式中：xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xiN(t))T∈RN，为第i(i=1,2,…,N)个节点的状态矢量；f:R×RN×RN→RN为连续可微的矢量函数，它控制孤立的动态节点；0≤τ1(t)≤τ1，0≤τ2(t)≤τ2，分别为发生在动态节点中的内部时滞和节点间的耦合时滞，其中τ1和τ2均为已知常数；Γ1和Γ2为内部耦合矩阵；A=(aij)N×N和B=(bij)N×N，分别为节点间的外部耦合矩阵，无向网络的外部耦合矩阵是对称的；c1(t)>0,c2(t)>0，均为自适应耦合强度。

c1(t)、c2(t)的表达式为

(2)

其中

ei(t)=xi(t)-s(t)，

(3)

为复杂动态网络同步误差，s(t)为复杂动态网络的同步解。

(4)

为了完成同步，要将控制器加入到复杂动态网络(1)的节点中，下面给出有限时间周期间歇性控制器ui(t)(i=1,2,…,N)的复杂时滞动态网络：

(5)

ui(t)的定义为

ui(t)=

(6)

根据式(3)、(4)，将复杂动态网络同步误差动态系统写成如下形式：

(7)

证明复杂动态网络(1)能够实现有限时间同步需要用到的假设和引理如下：

假设1[4]：对于任意x(t),y(t)∈Rn，存在正常数L1、L2，满足不等式

(x(t)-y(t))T(f(t,x(t),x(t-τ1(t)))-
f(t,y(t),y(t-τ1(t))))≤
L1(x(t)-y(t))T(x(t)-y(t))+
L2(x(t-τ1(t))-y(t-τ1(t)))T×
(x(t-τ1(t))-y(t-τ1(t)))。

(8)

引理1[6]：对于任意2个向量x、y，存在具有适合维度的矩阵S>0，使得不等式

2xTy≤xTSx+yTS-1y

(9)

成立。

引理2[9]：设x1,x2,…,xn∈Rn为任意实向量，z为一个实数，且0

(10)

成立。

引理3[8]:假设一个连续正定函数V(t)，当t∈[0,∞)时，使得不等式

(11)

成立,则有

V1-ξ(t)≤V1-ξ(0)e(1-ξ)p2(1-θ)t-

p1θ(1-ξ)t，0≤t≤t1，

2 主要结果

定理1：如果存在正常数μ、α2和q，满足条件

(12)

证明：构造Lyapunov-Krasovskii泛函

(13)

1) 当定理1的条件成立，且mT≤t<(m+θ)T时，式(13)可表示为

(14)

利用假设1，可得

(15)

式中：α1=L1。则式(14)可改写为

(16)

(17)

将式(17)代入式(16)中，可得

μeT(t)Qe(t)+μeT(t)Pe(t-τ2(t))+

(18)

根据引理1、假设2及β2，由式(18)可推出

(19)

2) 类似地，当定理1的条件成立且(m+θ)T≤t<(m+1)T时，式(13)可表示为

eT(t-τ2(t))e(t-τ2(t)))+

α2eT(t)e(t)+qeT(t)e(t)+

≤2qV(t)。

(20)

由式(19)、(20)可得

(21)

根据引理3，由式(21)可得

(22)

因此，复杂动态网络(1)能够在有限时间

(23)

实现同步，证毕。

与连续牵制控制器相比，本文所使用的有限时间周期间歇性控制器ui(t)能够提高效率、降低控制成本，在实际应用中更具有实用性和有效性，且当控制速率θ=δ/T=1时，间歇性控制将变为连续性控制。

MEI等[12]对利用时变耦合强度的复杂网络同步问题进行了数值研究，并重点比较了固定耦合强度与时变耦合强度之间的差异，说明了时变耦合强度能更有效地实现复杂网络的同步；文献[6]、[13]的作者分别利用时变耦合强度研究了复杂网络的完全同步、分群同步问题。本文在利用时变耦合强度的基础上，在所研究的模型中加入了有限时间的概念，这使网络模型在有限时间内能更快地实现同步，因此更贴近实际要求。

3 数值模拟

采用数值模拟的方式验证复杂网络模型在有限时间同步的有效性和正确性。考虑网络

ui(t),i=1,2,…,N,

(24)

式中：f(t,xi(t),xi(t-τ1(t)))=Dxi(t)+h1(xi(t))+h2(xi(t-τ1(t)))，其中xi(t)=(xi1(t),xi2(t),xi3(t))T。

以ei1(t),ei2(t),ei3(t)(i=1,2,…50)为例，说明复杂动态网络模型的同步误差ei(t)变化情况，如图1所示。可以看出：同步误差ei(t)的变化曲线在一定时间内趋于稳定，说明复杂动态网络模型可在有限时间实现同步。图2为自适应耦合强度c1(t)、c2(t)变化曲线，可以看出：随着时间的延长，自适应耦合强度趋于稳定。数值模拟的结果证明了定理1的有效性。

4 结论

笔者研究了一类具有时变时滞的复杂动态网络的有限时间同步问题，构造了有限时间周期间歇性控制器。在研究的网络模型中包含了内部时滞、耦合时滞以及自适应耦合强度，使得模型更加贴近实际要求，并从无向网络入手给出有限时间控制策略，利用Lyapunov有限时间稳定性理论得到了复杂网络系统实现有限时间同步的充分条件，最后通过数值模拟验证了结果的有效性。与以往的结果相比，所得结果具有更高的应用价值和更广泛的应用范围。