郭振涛， 迟长春， 陈正馨

(1. 上海电机学院 电气学院， 上海 201306； 2. 上海电科电器科技有限公司, 上海 200063)

随着国家经济的发展，对智能电网建设提出了更高的要求，使得电网更加复杂。电网中接入的电弧炉等非线性负载和电力电子器件，产生了大量谐波。电网中的谐波对电网稳定性和电力系统的安全运行造成了极大的负面影响，同时对电能质量监测装置的测量精度提出了更高的要求[1]。

快速傅立叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)具有计算简单、效率高的优点，是分析电力系统谐波较为常用的方法[2]。只有准确提取信号中基波和谐波的幅值、频率、相位参数，谐波检测的结果才能更加精确。由于实际应用中无法进行同步采样，非同步采样、非整周期截断会产生频谱泄漏和栅栏效应[3]，进而导致谐波信号参数的计算误差较大，故在对被测信号进行FFT时，需要加合适的窗函数、插值修正来抑制频谱泄漏和栅栏效应。国内外学者提出了矩形窗[2]、Hamming窗[3]、Hanning 窗[4]、Blackman 窗[5]、Blackman-Harris 窗[6]、Nuttall 窗[7]，单谱线插值[8]、双谱线插值[9]、三谱线插值[10]、四谱线插值[11]等信号加窗插值 FFT 分析算法。这些加窗插值算法对于频谱泄漏的抑制起到了一定的作用，也不同程度的减小了谐波参数的计算误差，提高了准确度。但是由于经典窗函数不具有良好的旁瓣特性[12-13]，不能很好地抑制频谱泄漏。因此，采用加经典窗函数的插值FFT算法分析谐波时，计算精度仍难以提高，且计算量较大。

本文分析了Nuttall窗、Kaiser窗的旁瓣特性，发现Nuttall窗的旁瓣衰减速率较大[14-16]，β=25时，Kaiser窗的旁瓣峰值电平较低，三峰插值具有较高的计算速度和准确度。考虑Nuttall窗具有良好的旁瓣特性，Kaiser窗有较强的频谱泄漏抑制能力以及灵活的形状参数改变特性[17-19]，所以本文利用Nuttall窗-Kaiser窗良好的旁瓣特性和其各自的优点[20]，研究了一种基于纳托尔凯塞组合窗(简称N_K组合窗)三峰插值FFT谐波分析算法。在Matlab计算软件平台中调用polyfit函数进行多项式拟合，得出最优的信号基波及各次谐波参数的插值修正公式，由此推导出含有谐波分量信号的各个参数计算公式。基于Matlab计算软件平台对Hanning 窗、Blackman 窗、N_K组合窗插值FFT算法进行仿真分析，仿真采用的信号模型为含有21次谐波的电压信号。将N_K组合窗三峰插值FFT谐波分析算法应用到电能质量监测装置中，通过对比实验，验证了算法的可行性与实用性。

1 基于N_K组合窗的三峰插值FFT分析

1.1 N_K组合窗

设包含多项整数次谐波的离散时间信号为

(1)

式中：I为所含谐波的项数；fs为采样频率。f1为基波频率;ri,Ai,θi为第i相谐波的次数、幅值和相位。

本文采用N_K组合窗函数W(ω)来处理如式(1)的离散信号，N_K 组合窗频谱函数为

W(ω)=χWN(ω)+γWK(ω)

(2)

式中:χ和γ分别为Nuttall窗、Kaiser窗的权重系数，χ和γ值可以任意变化，在此取相等权重。

WN(ω)为Nuttall窗的频谱函数为

(3)

WK(ω)为Kaiser窗的频谱函数为

(4)

文献[16-17,21-22]中对关于Nuttall窗和Kaiser窗进行了研究，并基于大量仿真和实验。本文采用β=25 时的Kaiser 窗和4项3阶Nuttall窗构造N_K组合窗函数，令χ=γ=0.5，对谐波信号进行处理。

设ω=2πk/N，由以上公式得组合窗函数的离散频谱函数为

(5)

用组合窗函数对式(1)中x(n)进行离散抽样，得到在正频点附近加组合窗后的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)式为

(6)

式中:Δf为离散抽样间隔(Δf=fs/N)。

在保证计算精度的前提下，忽略其余各相谐波对所需测量的第i项谐波的泄漏影响可简化计算，将式(6)化简为

(7)

图1为Nuttall窗、Kaiser窗和本文所提出的N_K组合窗的归一化对数频谱。由图1可知，N_K组合窗的旁瓣峰值电平为-125 dB，衰减速率为30 dB/oct，充分发挥了4项3阶Nuttall窗衰减速率大和Kaiser窗(β=25)旁瓣峰值电平低的优点，比Kaiser窗具有更好的抗噪性，比Nuttall窗具有更好的旁瓣特性，抑制频谱泄漏能力更强。

1.2 N_K组合窗三峰插值算法

对信号进行分析时，由于非同步采样，导致栅栏效应，使得峰值频点与离散谱线频点不一致，所以ki一般都不是整数。设ki为理论上的峰值谱线，ki1为ki附近实际采样的最大谱线，ki2,ki3是ki1左右两边的次大谱线和最大谱线。设α=ki-ki1(α∈[-0.5,0.5])，ki2=ki1-1≤ki≤ki3=ki1+1，得ki2-ki=-1-α,ki3-ki=1-α，谱线ki2,ki1,ki3是对应的幅值为：y1=|X′(ki2Δf)|，y2=|X′(ki1Δf)|，y3=|X′(ki3Δf)|。

(8)

记式(8)δ=h(α)，其反函数α=h-1(δ)。

将k=-α±1代入式(5)，由于N一般都较大，故可得:

(9)

将式(9)代入式(8)，采用Matlab计算软件平台中Polyfit函数进行多项式拟合逼近，计算求得α=h-1(δ)的拟合逼近式为

α=H(δ)

(10)

由δ求出参数α，谐波信号的频率修正公式为

fi=kiΔf=(α+ki1-1)Δf

(11)

本文利用实际采样所得的最大谱线ki1和其附近的两条谱线ki2和ki3所包含的幅值信息进行三峰插值修正，因为最大谱线ki1对应的幅值y2值最大，所以赋予其最大权重2，则幅值的修正公式如下：

(12)

令

采用拟合函数进行多项式逼近，可得逼近式为

(13)

由式(5)、式(7)得组合窗第i相谐波的相位修正公式为

*α

(14)

在Matlab中调用Polyfit函数进行多项式拟合逼近可以求得N_R组合窗的幅值修正公式为

α=3.352 737 827 71δ5+1.145 796 812 14δ3+3.558 785 673 96δ

(15)

g(α)=0.217 925 132 15α4+0.793 761 533 42α2+3.542 725 868 38

(16)

2 仿真分析与实例研究

2.1 对比仿真分析

为了验证本文所研究算法的计算精确度，对含有21次谐波的信号进行仿真分析，信号模型为

(17)

式中:基波频率f1=50.2 Hz，采样频率fs=1 kHz，数据截断长度N=1 024。仿真信号的基波和各次谐波(以h表示)的幅值(Ah)和相位(φh)数值见表1。

表1 仿真信号的基波和谐波参数

选用文献[23]中提出的Hanning窗、Blackman窗与本文N_K组合窗进行仿真对比分析。图2和图3分别是幅值和相位的误差仿真结果。由图可知,采用的N_K组合窗三峰插值FFT算法计算出的基波幅值相对误差为-2.1×10-5%，基波相位相对误差为3.2×10-7%。由对比曲线可以看出，基于N_K组合窗的加窗插值算法对于高次谐波的计算误差浮动很小，算法的稳定性很好。幅值计算精度比采用文献[23]中Hanning窗、Blackman窗的加窗插值算法高出2～3个数量级；相位计算精度高出5个数量级。可见N_K组合窗旁瓣特性很好，能有效抑制频谱泄漏的影响。仿真结果表明，本文采用的N_K组合窗三峰插值FFT算法的参数计算精确度更高。

图2 幅值计算相对误差比较

图3 相位计算相对误差比较

2.2 实际测试与应用

基于N_K组合窗三峰插值FFT算法已经在上海电机学院与上海电科电器科技有限公司(以下简称公司)联合研制的电能质量监测装置上得到了应用，硬件结构如图4所示。

本文所研制的电能质量监测装置采用了OMAP-L138 +ADE7880 结构形式，OMAP-L138是一款异构双核心处理器，它发挥了数字信号处理器(Digital Signal Processing,DSP)的高计算性能和ARM高效的事务处理能力，并且OMAP-L138的功耗和成本都较低。三相电能计量芯片ADE7880是美国的ADI公司的产品，具有独立的信号采集单元，测量精度高，可对三相电压、电流进行同步采集，并将采集到的波形进行计算获得电能参数，大大节省了OMAP-L138中DSP的资源。利用DSP和本文算法实现了基波与谐波电能计量和谐波参数检测，ARM负责系统的管理，包括人机接口、显示、通信和存储。

图4 硬件结构框图

为了验证本文研究的N_K组合窗三峰插值FFT算法的参数计算精确度和实用性，在公司的实验室对应用了本算法的电能质量监测装置进行了实验。采用XL803A三相程控标准信号源，提供含有高次谐波的电压信号。为使结果更加精确，采用电能质量精准测验三相功率计Fluke1732作为对照组，对信号源产生的信号同时监测，表2为计算出的相对误差。采样频率为8 kHz，采样点数2 048点。测得实际信号频率为50.038 Hz。

本算法在电能质量监测装置上的成功运用，表示该算法具有很强的实用性。由表2可知，47次谐波幅值相对误差为-5.6×10-7，相位相对误差为-6.2×10-5，频率计算的相对误差为4.5×10-7，表明本算法在实际应用中对高次谐波信号的计算误差依然很小，计算精度很高。

表2 幅值相位相对误差 %

3 结 语

本文在分析Nuttall 窗、Kaiser窗的旁瓣特性的基础上，综合两种窗函数的优点，构建了N_K组合窗函数。结合计算准确度高且运算速度快的三峰插值法，推导出实用且计算简单的信号基波及各次谐波参数的修正公式。基于Matlab计算软件平台，对信号进行加Hanning窗、Blackman窗、N_K组合窗三峰插值FFT算法仿真，对比分析3种算法仿真出的误差结果，发现采用本文研究的N_K组合窗，在非同步采样的条件下，比加Hanning窗、Blackman窗处理信号得到的结果，检测精度更高，同时比加经典窗及其他插值算法要高出2～3个数量级，频谱泄露抑制的效果非常显著，对于信号中高次谐波参数的检测，依然保证了很高的精度。最后通过在电能质量监测装置上的应用，验证了算法的有效性与实用性。