摘 要：求多元表达式的范围，可以通过消元转化为一元x，构造函数f（x）求出对应值域得到所求范围。消元方法多种多样，技巧复杂变幻莫测，掌握常规消元方法，则能以不变应万变，从容应对。

关键词：常规代入消元；三角消元；逆消元；整合消元；主元法；图像法；构造法

函数概念：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记作y=f（x），x∈A。因此，要求某多元表达式的范围，可以通过消元转化为一元x，构造函数f（x）求出对应值域得到所求范围。消元方法多种多样，技巧复杂变幻莫测，如何以不变应万变，从容应对，考验着每位解题者的数学综合素养。

一、 常规消元

代入消元是最常规最熟悉的消元策略，通过消元，极易构造函数求范围。如：已知a>1，b>1，ax=by=2，2a+b=8，则1x+1y的最大值为 ；涉及4个变量a，b，x，y，可以通过相互条件表示消元转化为一元问题求解。x=log2a，y=log2b，则1x+1y=loga2+logb2=logab2，再利用2a+b=8消元或利用基本不等式求解。

二、 三角消元

条件有型如f2（x）+g2（x）=c（c为常数），可以利用cos2θ+sin2θ=1三角消元转化为三角函数问题求解。例如：已知正数a，c满足a2+c2-ac=3，则2a+c的最大值为 ；已知条件a2+c2-ac=3可以转化为（2a-c）2+3c2=12，设2a-c=23cosθ，3c=23sinθ（θ∈R），则2a+c=23cosθ+4sinθ=47sin（θ+β）≤47得答案。

三、 逆消元

常规由已知条件代入所求表达式消元即得函数表达式求解，但许多条件不利于转化表示，可以通过所求表达式转换代入条件进而求解。如：已知正数a，c满足a2+c2-ac=3，则2a+c的最大值为 ；可以设2a+c=t，则c=t-2a

代入已知条件a2+c2-ac=3得：7a2-5ta+t2-3=0在（0，+

SymboleB@ ）上有解。由Δ≥0得2a+c≤47。再如：已知正实数x，y满足x+2x+3y+4y=10，则xy的取值范围是 ；……