摘 要：求多元表达式的范围，可以通过消元转化为一元x，构造函数f（x）求出对应值域得到所求范围。消元方法多种多样，技巧复杂变幻莫测，掌握常规消元方法，则能以不变应万变，从容应对。

关键词：常规代入消元；三角消元；逆消元；整合消元；主元法；图像法；构造法

函数概念：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记作y=f（x），x∈A。因此，要求某多元表达式的范围，可以通过消元转化为一元x，构造函数f（x）求出对应值域得到所求范围。消元方法多种多样，技巧复杂变幻莫测，如何以不变应万变，从容应对，考验着每位解题者的数学综合素养。

一、 常规消元

代入消元是最常规最熟悉的消元策略，通过消元，极易构造函数求范围。如：已知a>1，b>1，ax=by=2，2a+b=8，则1x+1y的最大值为 ；涉及4个变量a，b，x，y，可以通过相互条件表示消元转化为一元问题求解。x=log2a，y=log2b，则1x+1y=loga2+logb2=logab2，再利用2a+b=8消元或利用基本不等式求解。

二、 三角消元

条件有型如f2（x）+g2（x）=c（c为常数），可以利用cos2θ+sin2θ=1三角消元转化为三角函数问题求解。例如：已知正数a，c满足a2+c2-ac=3，则2a+c的最大值为 ；已知条件a2+c2-ac=3可以转化为（2a-c）2+3c2=12，设2a-c=23cosθ，3c=23sinθ（θ∈R），则2a+c=23cosθ+4sinθ=47sin（θ+β）≤47得答案。

三、 逆消元

常规由已知条件代入所求表达式消元即得函数表达式求解，但许多条件不利于转化表示，可以通过所求表达式转换代入条件进而求解。如：已知正数a，c满足a2+c2-ac=3，则2a+c的最大值为 ；可以设2a+c=t，则c=t-2a

代入已知条件a2+c2-ac=3得：7a2-5ta+t2-3=0在（0，+

SymboleB@ ）上有解。由Δ≥0得2a+c≤47。再如：已知正实数x，y满足x+2x+3y+4y=10，则xy的取值范围是 ；可以设xy=t，则y=tx代入条件得：（1+4t）x2-10x+（2+3t）=0，由Δ≥0得1≤t≤83。也可以设xy=t，則x=ty代入条件得：10=（2t+3）y+（t+4）1y≥2（2t+3）（t+4）

解得1≤t≤83（当且仅当（2t+3）y=（t+4）1y即y2=t+42t+3，当t=1时y=1，x=1；t=83时y=43，x=2）。

四、 整合消元

没有条件代入消元而自身带有2个或以上变量的表达式，可以内部整合换元消元。例如：正实数x，y满足5x2+4xy-y2=1，则12x2+8xy-y2的最小值为 ；12x2+8xy-y2=12x2+8xy-y25x2+4xy-y2=2+2x2+y25x2+4xy-y2，设yx=t转化为2+2+t25+4t-t2，成一元函数问题求解得最小值为73；本题也可以将条件转化为（5x-y）（x+y）=1，设a=5x-y，b=x+y，ab=1，通过换元，12x2+8xy-y2=2+（2x2+y2）=2+a2-2ab+9b212，可以分母变成12ab，设ba=t转化为关于t的元函数问题求解，当然也可以用基本不等式直接求解。

五、 主元法

多元函数可以确定主元，其他变量先看成常数，转化为关于主元的一元函数求解。例如：求F（x，y）=（3x-y）2+（x+1y）2的最小值为 ；可以先看成关于自变量x的函数f（x）=10x2-（6y-2y）x+（y2+1y2），最小值在二次函数顶点处，f（x）min=40（y2+1y2）-（6y-2y）240=4y2+y236+2440，再用基本不等式或对勾函数求得最小值。当然，本题也可以看成两点（3x，x），（y，-1y）间距离平方的最小值；即A，B

为函数y=13x和y=-1x图像上两动点，求A，B两点间距离平方的最小值，利用导数知识求解。

六、 利用一元函数图像（几何意义）求解

许多表达式本身蕴含丰富几何意义，善于分析充分利用有利于快速找到解题途径。例如：不等式（m-n）2+（m-lnn+λ）2≥2对任意的m∈R，n∈（0，+

SymboleB@ ）恒成立，则λ的取值范围是 ；问题转化为两点（m，m+λ），（n，lnn）间距离的平方。从而构造函数f（x）=x+λ，g（x）=lnx，问题转化为两函数图像上动点间距离最小值大于等于2，利用导数取出范围λ≥1。

七、 变量分离到等号或不等号两边，分别构造函数求解

例如：已知集合A={（x，y）x2+8x·sin（xy）+16=0，其中x∈R，y∈[0，2π]，则集合A中元素个数为 ；对等式x2+8x·sin（xy）+16=0变量分离-sin（xy）=x8+2x，右边对勾函数y=x8+2x范围（-

SymboleB@ ，-1}∪{1，+

SymboleB@ ），从而左边-sin（xy）≤-1或-sin（xy）≥1。由三角函数性质知-1≤-sin（xy）≤1，结合等号成立条件有：sin（xy）=1，x=-4，y=（4k-1）π8；sin（xy）=-1，x=4，y=（4k-1）π8，在结合y∈[0，2π]，上述两式中k均可以取1，2，3，4，共8解，从而集合A中元素个数为8，分别为（-4，1），（-4，2），（-4，3），（-4，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.

当然，消元转化为函数问题是解决多元问题求范围的基本手法，解决问题的方法是多元化的，转化到最佳途径才是综合素养的体现。例如：a>0，b>0，函数f（x）=xlnx，g（x）=-a+xlnb，存在x∈[a+b4，3a+b5]，f（x）≤g（x）成立，则ba的取值范围是 ；若果用函数的概念转化，首先由a+b4<3a+b5估算范围00）在区间[1，2]上有两个不同的零点，则f（1）a的取值范围是 ；同样是多元问题，转化为线性规划求解，答案（0，1）。

转化和化归是数学教育和终身教育必备的能力，将多元问题转化为一元函数问题是解决多元范围、最值问题的重要手段和方法。只有不断总结归纳，在应用中体会，才能迅速多元复始“一元”，在错综复杂的问题情景中“更新万象”，化未知为已知，最终解决问题。

作者简介：

王勇，江苏省昆山市，江苏省昆山中学。