Degasperis-Procesi方程的弱适定性*

2018-08-08王健鸣冯兆永刘成霞

中山大学学报(自然科学版)(中英文) 2018年4期

关键词：初值局部命题

王健鸣，冯兆永，刘成霞

(1. 广东工业大学应用数学学院，广东广州 510520；2. 中山大学数学学院，广东广州 510275；3. 南方医科大学口腔医院，广东广州 510280)

本文主要研究如下的Degasperis-Procesi (DP)方程：

ut-utxx+4uux=3uxuxx+uuxxx，t>0，x∈R

(1)

当t=0时，u满足初始条件

u(0，x)=u0(x)，x∈R

(2)

Degasperis-Procesi 方程和Camassa-Holm方程是两个重要的浅水波方程，现如今对于这两个方程已有较为完善的研究结果[1-13]。DP方程是由Degasperis和Procesi在研究动力学的非线性浅水波模型时提出[4]。随后Degasperis等[5]证明了DP方程具有双Hamiltonian结构，完全可积，并且有尖峰孤立子解。对于DP方程，殷朝阳证明了该方程在初值u0∈Hs(R)，s>2/3时解的局部适定性[10],并证明了整体解的存在性和解的爆破现象[11]。Coclite和Karlsen研究了DP方程的Cauchy问题在初值u0∈L2(R)∩L4(R)时弱解的存在性和熵弱解的唯一性[12]。Escher等[13]研究了DP方程强解的爆破率和弱解的整体存在唯一性。本文受文献[14]启发，运用特征线方法将DP方程转化成ODE系统，再利用ODE理论研究该ODE系统解的存在唯一性，进而证明DP方程当初值u0∈H1(R)∩W1，∞(R)时解的局部存在唯一性，并给出方程的解对初值的弱连续依赖性。

令m=u-uxx，方程(1)可写成

mt+mxu+3mux=0，t>0，x∈R

(3)

(4)

下面给出本文的主要结论：

其中常数c>0。此外，如果在空间X上初值u01→u02，则在H1([0，T)×R)上有u1→u2，其中u1，u2是Cauchy问题(1)-(2)的解。

1 ODE系统解的存在唯一性

对于Cauchy问题(1)-(2)的光滑解，设x(s，t)为方程(1)-(2)的特征线，s为初值，即

(5)

记U(s，t)=u(x(s，t)，t)，W(s，t)=ux(x(s，t)，t)，令

F1(ξ，U)(s，t)=

(6)

F2(ξ，U)(s,t)=

(7)

考虑ξ(s，t)=x(s，t)-s，∀s∈R，t>0，由方程(5)，可得到

(8)

对于U(s，t)，利用链式法则，结合方程(4)可得

ut+uux=F1(ξ，U)(s，t)

(9)

(10)

从而得到如下ODE系统

(11)

为了书写方便，记X=H1(R)∩W1，∞(R)，Y=L2(R)∩L∞(R)。假设essinfξs≥α>-1，并考虑ξ∈Oα={ξ∈X：1+essinfξ>α}。为了证明ODE系统(11)解的存在唯一性，先证明以下引理。

证明由题设知，ODE系统(11)可写成积分形式

(12)

其中v(·，t)=(ξ，U，W)(·，t)∈Oα×X×Y，t∈[0，T)。对任意v1，v2∈Oα×X×Y，设常数

i=1，2，则有

(13)

对于F1，通过插项可得到

∀f∈Lr(R)

其中，x和ω互为逆函数。又由于xs(s，t)=ξs(s，t)+1，通过变量替换并利用Young’s不等式可得

(14)

根据文献[14]的引理2.15，有

|G′(x1(s)-x1(σ))-

G′(x2(s)-x2(σ))|≤

G((1+α)(s-σ))·

(ξ1(s)-ξ2(s)+ξ1(σ)-ξ2(σ))

I2=F1(ξ1，U2)-F1(ξ2，U2)=

(∂sx1(σ，t)-∂sx2(σ，t))dσ+

类似于I1，通过变量替换并应用Young’s不等式得到

(15)

(16)

∂sF1(ξ，U)(s，t)=

从而

类似于不等式(16)的推导，可以得到

(17)

对于F2，类似于上述方法，有

(18)

所以，将式(16)-(18)代入式(13)得到

(19)

其中常数C(α，K)仅与α，K有关。

由F的定义知，F(0)=0，代入式(19)可得

故对任意的v(s，t)∈Oα×X×Y，有F(v(s，t))∈X×X×Y。所以映射F：Oα×X×Y→X×X×Y满足局部Lipschitz连续，引理得证。

类似于文献[14]定理3.8的证明过程，利用引理1和ODE理论容易推出以下命题。

2 DP方程局部解的存在唯一性

由于ξ(s，t)=x(s，t)-s，我们定义Sξ(x，t)=ω(x，t)-x，∀x∈R，其中x和ω互为逆函数。为了证明DP方程解的存在唯一性，先给出下列引理。

引理2[14]映射S具有下列性质

(i)S：Oα→X，且

(ii)对于任意ξ1，ξ2∈Oα，有

(iii)映射DxS：Oα→L2(R)是连续的。

引理3[14]对于任意f∈C([0，T)：L2(R))，映射Hf：ξ→f(ω，t)从Oα到L2(R)一致连续，其中ω是x的逆函数，x(s，t)=ξ(s，t)+s，∀s∈R，t>0。

下面先证明DP方程局部解的存在性。

由于

u(x，t)=U(ω(x，t)，t)

应用变量替换可得

(20)

所以u(·，t)∈L2(R)。根据引理2，对任意t1，t2∈[0，T)，有

又ξ∈C([0，T)：L2(R))，所以u∈C([0，T)：L2(R))。

由命题1有∂sU=W(1+∂sξ)=W∂sx，进而ux(x，t)=∂sU(ω(x，t)，t)ωx(x，t)=W(ω(x，t)，t)类似于式(20)有∂xu(·，t)∈L2(R)。又由于W∈C1([0，T)：Y)，从而有∂tW∈L∞([0，T)：Y)，于是对任意t1，t2∈[0，T)，可推出

因为

W(·，t)∈C([0，T)：L2(R))

由引理3知，当ξ(·，t2)→ξ(·，t1)时，

所以，当t2→t1时，有

故

∂xu∈C([0，T)：L2(R))

从而

u∈C([0，T)：H1(R))

因为

U∈L∞([0，T)：W1，∞(R))

容易推出u∈L∞([0，T)：W1，∞(R))。

下面证明u∈C1([0，T)：L2(R))。假设u(·，t)是方程(4)的解，则有

*u2

从而，对于任意的t1，t2∈[0，T)，有

最后，证明u(·，t)是方程(4)的解。由链式法则有∂tU(ω(x，t)，t)=Usωt+Ut，又因为ωt=ωxxt=uωx且Usωx=ux，所以∂tU(ω(x，t)，t)=-uUsωx+Ut=-uux+Ut。从而ut存在，且ut+uux=Ut。由于v=(ξ，U，W)是ODE方程(11)的解，所以Ut=F1(ξ，U)(s，t)，因此得到

*u2

故u(·，t)是方程(4)的解，命题得证。

下面，证明DP方程Cauchy问题解的唯一性。

命题3 设初值u0∈X，如果u∈ZT是Cauchy问题(1)-(2)的解，则u是唯一的。

证明由于u∈ZT，通过文献[14]中定理3.10的证明，知道Cauchy问题

∂tξ(s，t)=u(s+ξ(s，t)，t)，ξ(s，0)=0

(21)

有唯一解ξ∈C1([0，T)：C(R))∩L∞([0，T)：W1，∞(R))，而且∂tξ∈C([0，T)：C(R))∩L∞([0，T)：W1，∞(R))。

对于任意s∈R，t∈[0，T)，定义

x(s，t)=ξ(s，t)+s，U(s，t)=u(x(s，t)，t)，

W(s，t)=ux(x(s，t)，t)

因为u是Cauchy问题(1)-(2)的解，利用链式法则可得