曹晓瑞

在初中，学生已经学习了圆的相关概念、与圆有关的位置关系及圆中的计算问题等知识，但当时并没有对相关定理进行严格的证明，学生缺乏对知识过程的理解，更不能很好的领悟知识产生的背景及发生发展过程。为此，人教A版高中数学选修系列4-1将“几何证明选讲”单列作为一个专题进行研究，其中就包括圆的相关知识的研究学习，可见其重要性。

进入高中，学生的思维水平和理解能力有了很大的提升，因次，有必要通过这部分知识的学习将我们在初中阶段没有深入弄明白的问题和不知道来龙去脉的问题加以解决，进一步提升自己提出问题和解决问题的能力。

参照新课标大纲，笔者认为人教A版高中数学选修系列4-1模块知识具有以下几点显著特征：注重证明，强调过程，突出思想，加强探究。这是结合高中阶段学生的特点和接受能力，让学习数学的严谨性成为提高同学们逻辑推理技能、以及思维能力的有效途径，为学生解决以后的学习和生活中的问题打下坚实的基础，从而提高自己提出问题和解决问题的能力。同时也领悟了数学思想方法，跟随书中的观察，思考，探究等，大胆探究问题，拓展了自己的知识和视野。

了解了这些特点，那么本教材的教学方法就有了一个思路。我们不妨从初高中知识的联系入手，结合大纲要求，让学生学好本专题。为此，从学生的认知规律抓起，把握初、高中知识联系，方能提高课堂效率。因次，使学生很快的熟悉本部分知识，重拾以前的理论，让他们觉得似曾相识，而又不乏兴趣，是本专题学好的前提和关键。

为此，我们有必要研究一下初高中关于这一部分知识的联系，好做到有的放矢。我们以华师大版初中教材为例来讨论一下这个问题。华师大版教材把圆这一部分放在了九年级下册第28章，结构如下：28.1圆的认识；28.2与圆有关的位置关系；28.3圆中的计算问题。中考考纲对此部分的要求是1、理解圆的有关概念和性质。2、掌握点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系及其性質。3、掌握弧长、扇形面积计算公式。

而高中人教A版教材把圆的知识作为一个专题单独列了出来，放在了选修4-1。共分为五节来安排的：一，圆周角定理；二，圆内接四边形的性质与判定定理；三，圆的切线的性质及判定定理；四，弦切角的性质；五，与圆有关的比例线段。高考考纲对此部分的要求是1、会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.2、会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.

对比中高招考纲，对与圆相关知识的考察不难发现初中对本部分的介绍重在对相关概念名词的介绍和了解，而高中则是对这些知识的深入探究，更注重知识的来龙去脉和联系性、应用性。当然，有了初中对圆的相关知识的了解，高中对圆的相关性质的学习才有了一个基础。因此，初高中知识是一脉相承的，教学时应注重联系，强化应用，这样学生才可能容易接受，从而掌握牢固。

因此，从学生的认知水平出发，尊重教材的设计思路，把握好初高中知识的联系，深刻领会知识间的衔接是设计好一节课，上好一节课的前提和基础。为此，笔者把自己的一些想法和理解用一节课的设计来做一展示，下面就是人教A版高中数学选修系列4-1《弦切角的性质》这一节课的设计，希望能和各位同仁做一交流，。

一、课前预习设计

（一）教材自学 自学课本选修4-1 P32—P34内容

1.提问：什么样的角是圆周角？（联系初中所学知识，唤起学生对知识的亲切感和兴趣，并为下面学习弦切角做好铺垫！）

2.圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.（图7-132）

思考：这时∠BAE还是圆周角吗？为什么？归纳总结出弦切角的特点：

（1）顶点在圆周上； （2）一边与圆相交； （3）一边与圆相切.

（二）目标提取

1.你认为本节课我们主要应完成哪些任务？

2.能否做一个简单概括？（结合预习，在初中知识的基础上我们还有哪些知识没有弄明白？展示目标）

（1）理解弦切角的概念；

（2）掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；

（3）理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法.

（注：学习目标的展示应简洁，以知识目标为主，其他的目标应落实到教学过程中。另外，目标应作为预习的一个风向标，学生通过预习不仅要了解本节要学习什么以及需要那些知识准备。更重要的是通过预习弄清楚了自己的需求，也就有了本节课的重点和难点了。）

（三）明确重、难点

你认为哪些知识是本节课的重点、难点？（不同的学生可能有不同的难点，在教学中可分层次教学，有的放矢）

重点：弦切角定理及其应用

难点：弦切角定理的证明

二、课堂教学设计

（一）定向、诱导

1. 弦切角定义：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.

2.判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由： （图7-133）

由此发现，弦切角可分为三类：

（1）圆心在角的外部； （2）圆心在角的一边上； （3）圆心在角的内部.

3、那么弦切角都有哪些性质呢？（提出问题学生思考）

（二）自学、探究

1.当弦切角一边通过圆心时，（如图7-135）

（1）弦切角∠CAB是多少度？为什么？

（2）∠CAB所夹弧所对的圆周角∠D是多少度？为什么？

（3）此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系？

观察图形，不难发现，此时弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角.

2.以A为端点.旋转AC边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系，猜想：弦切角是否等于它所夹的弧对的圆周角.（图7-134）

（三）讨论、解疑

1.回忆联想，成果展示：

（1）圆周角定理的证明采用了什么方法？

（2）既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢？

2.前面证明了特殊情况，下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况.讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况。如7-136（1），圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠AP.

如图7-136（2），圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ，连结PQ，

则∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC. 你能写出完整的证明过程吗？

（注：学生讨论、给出观点、达成一致，最终写出完整过程并展示。）

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.

3.看书并思考：课本上关于定理的证明与我们现在的证明方法有何异同？

（四）反馈、总结

1.课本 例1（学生自学，需要时教师点拨）

2.思路点拨：思路一：要证∠BAC=∠CAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD=∠B.（图7-139）

證明：（学生自己完成证明）

思路二：连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠1=∠3，又由于∠1=∠2，可证得结论.（图7-140）

思路三：过C作CF⊥AB，交⊙O于F，连结AF.由垂径定理可知∠1=∠3，又根据弦切角定理有∠2=∠1，于是∠2=∠3，进而可证明结论成立.（图7-141）

3.小结

①知识收获

②方法收获

③思维收获

总结：① 在证明弦切角定理时，我们是从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角概念的引入和定理的证明过程，逐步学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.（让学生通过回顾，总结，得出如7-144的结构图）

②学习了分类讨论的思想和完全归纳的证明方法.在这里一定要注意为什么要对弦切角进行分类和如何进行分类. ③弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.

（注：小结可让学生畅谈收获，与他人共分享，从学习中获得成就和乐趣。）

三、课后巩固设计

（一）练习

必做：1.课本P34 1

2.如图7-142，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC=56°，则∠ECA= 度. （口答）

3.AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角∠BAC= .

选作：创设计对应训练

（二）作业

必做：课本 P34 2

选作：如图7-138，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若AB=AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等？为什么？分析，由于AB和AC分别是两个弦切角∠DAB和∠EAC所夹的弧，而AB和AC.连结B，C，易证∠B=∠C.于是得到∠DAB=∠EAC.（通过此题你能得出什么结论呢？）

推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等.

（三）课后笔记及纠错

（注：练习和作业的设计应因材施教，针对不同的学生应有不同的要求，必要时可以分层次备选适量的题。）

这节课笔者在A、B两个层次的班级进行了教学，从教学效果上来看，学生反应都不错，课堂气氛活跃、和谐，不同的学生在自己已有的基础上都有不同程度的收获，学有所获。而且，学生的学是主动的有目的的，一节课下来收获不小，成就感油然而生。

值得一提的是，本节课从初高中知识的联系入手，让学生能循序渐进，充分参与，学有所用，使学生真正成为课堂的主人，这是值得肯定和坚持的，可见，把握知识联系方能备出一节好课，从而提高课堂效率。笔者认为这也是我们每个老师今后课堂教学应该注意和完善的一个方向。

说明：设计中括弧中的黑体字部分是笔者的所思所做，在学生的学案中是不出现的。

参考文献：

[1]人教A版数学选修4-1几何证明选讲

[2]华东师大版数学九年级下册