翟彩云　张勇　陈武钊

概念教学是数学教学中不可缺少的重要组成部分。概念教学是一个“重新建构”过程，是一个“意义赋予”过程。“121”三段四环导学课堂教学模式中概念课的教学过程可概括为下图：

案例：函数的单调性（第一课时）

函数的单调性是函数的重要性质。其中增函数、减函数的概念是形式化定义，较为抽象，学生不易理解，可采用概念形成的教学方式。

一、概念的引入（约10分钟）

（一）重现已有知识

师：在初中我们已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质。现在请同学们观察下列函数的图象，并说明函数值y随x的增大而怎样变化？

（1）y=2x+1 （2）y=-x+1 （3）y=x2 （4）y=

学生可能有以下回答：

（1）函数y=2x+1在定义域内y随x的增大而增大。

（2）函数y=-x+1在定义域内y随x的增大而减小。

（3）函数y=x2在[0，+∞）上y随x的增大而增大，在（-∞，0]上y随x的增大而减小。

（4）函数y=在（0，+∞）和（-∞，0）上y都随x的增大而减少。

（设计意图：观察具体函数图象特征，注重直观感知）

师：这些例子都反映了自变量变化时函数值也会发生改变，有的变大，有的变小，这是函数的一个重要性质，称为函数的单调性。同学们在初中对函数的这种性质虽然有所了解，但是没有严格的定义，今天我们的学习任务就是建立函数单调性的严格定义。

（二）引入新的概念

问题1：你能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？

学生可能回答：如果函数f（x）在某个区间随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f（x）在该区间上为增函数；如果函数f（x）在某个区间随自变量x的增大，y反而越来越小，我们说函数f（x）在该区间上为减函数。

师：这种认识从图象的直观性很容易得到，即是从“形”的角度对函数单调性的直观性认识。

（设计意图：从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的感性认识。）

问题2：如何从“数”的角度，对“函数值y随x的增大而增大（或减少）的特征”给予具体的定量刻画呢？以y=x2在[0，+∞）上是增函数为例，你能列举一些数据予以说明吗？

学生可能回答：当x=0时，y=0；当x=1时，y=1；当x=2时，

y=4……

问题3：这样的数据能列举完吗？你能用准确的数学符号语言表达出增函数的定义吗？

学生回答：不能。

老师：为什么不能呢？

逐步启发学生找到问题的根源：自变量不可能被穷举，从而逐步回答出：对任意的两个自变量x1，x2∈[0，+∞），x1

（设计意图：引导学生思考讨论，把对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度。事实上也给出了证明单调性的方法，为典例1的学习做好铺垫。）

（三）形成概念定义

（教师用投影展示）一般地，设函数f（x）的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2），那么就说f（x）在区间D是减函数。区间D为y=f（x）的单调减区间。（图3）

如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间。

二、概念的理解（约20分钟）

（一）探究概念等价变换

师：由不等式性质知：若ab则a-b>0，反之亦然。要比较f（x1）与f（x2）的大小，只要观察f（x1）-f（x2）<0？或f（x1）-f（x2）>0？因此，单调性的定义你能作出怎样的等价变换呢？

学生：对任意的两个变量x1，x2∈I，x1

学生：对任意的两个变量x1，x2∈I，x10，则称函数f（x）在区间I单调递减。

（二）概念理解的变式练习

师：分别指出各函数（1）y=2x+1；（2）y=-x+1；（3）y=x2；（4）y=的单调区间。

学生可能回答：（1）函数y=2x+1只有增区间（-∞，+∞）；（2）函数y=-x+1只有减区间（-∞，+∞）；（3）函数y=x2的增区间是[0，+∞），减区间是（-∞，0]；（4）函数y=的减区间为（-∞，0）和（0，+∞）。

问题4：能把函数y=的减区间（-∞，0）和（0，+∞）改写成

（-∞，0）∪（0，+∞）吗？

一些学生回答可以，一些学生回答不可以。

师：请认为不可以的同学说说理由。

学生甲：-1，2∈（-∞，0）∪（0，∞），并且-1<2，应该是f（-1）>

f（2），这与事实f（-1）

师：甲同学说对了。一个函数同时有两个或以上的增（或减）区间要用“，”或“和”分开，不能用“∪”把各个单调区间连接起来，这是求函数的单调区间中最常见、最典型的錯误，请同学务必注意。

（设计意图：规范表达，防止典型错误的发生）

问题5：请回答下面几个思考题

①已知f（x）=，因为f（-1）

②若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均为增函数，则函数f（x）在区间（1，3）上为增函数，对吗？

③因为函数f（x）=在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，所以f（x）=在定义域上是减函数，对吗？

学生可能回答：都不对。

师：通过以上几个小题的讨论交流，我们得出以下结论：

①单调性定义中的x1，x2是区间内任意两个值，而不是特殊的两个值。

②单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性，单调性是函数的局部性质。

③函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数。

（设计意图：让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过几个思考题的辨析，加深学生对定义的理解）

（三）典例合作探究（交流研讨、展示点评、点拨整理）

例1.证明函数f（x）=x+在（1，+∞）上是增函数。

1.分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流、展示、点评、质疑。

证明：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1

∴函数f（x）=x+在（1，+∞）上是增函数。 下结论

2.归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、判断符号、下结论。

（设计意图：初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤）

三、概念的运用（约10分钟）

1.证明函数f（x）=x2+1在[0，+∞）上是增函数。

2.对任意的两个变量x1，x2∈I，x11，能判断函数f（x）在区间上是增函数吗？

（设计意图：通过练习1，巩固学习效果，练习2拓展学生思维）

四、总结提高

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生共同完成小结。

（一）小结

（1）探究得到函数单调性的概念。

（2）单调性的证明方法和步骤：取值、作差、变形、判断符号、下结论。

（3）数学思想方法：数形结合。

（二）作业

书面作业：课本第39页，习题1.3，第1，2，3题。

选做作业：讨论函数y=x+（x>0）的单调性。

五、案例点评

函数的单调性是函数的重要且基本的性质。函数的单调性从图象角度来看，清楚、直观，容易理解，但是用抽象的数学符号语言来刻画，即当x1，x2∈I，x1f（x2），则f（x）在区间I上是减函数，对刚进高一的学生来说，就显得比较抽象。本案例针对函数单调性概念的形式化定义这一难点，教师通过学生初中已接触过的基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，引入课题，为新概念的学习创设情境，一定程度上达到承上启下的效果，为提高课堂效率打下良好基础。从已经掌握的一些简单函数的图象入手，让学生在问题情境中认识从“形”的直观性过渡到从“数”的角度上对函数单调性的特征进行辨析。在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过概念的变式思考、概念理解的变式练习、典例“证明函数f（x）=x+在（1，+∞）上是增函数”的分析加深学生对单调性这个概念的理解，突破了如何用定义进行解题这一难点，并指出学生做题中最典型并且最常见的一个错误（一个函数同时有两个或以上的增〈或减〉区间要用“，”或“和”分开，不能用“∪”把各个单调区间连接起来），教师板书了规范的解答过程，师生一起总结解题的步骤。最后，通过概念的运用环节，让学生学以致用。通過解决：对任意的两个变量x1，x2∈I，x11，能判断函数f（x）在区间I上是增函数吗？达到拓展提升的目的。整节课学生都能主动参与课堂，顺利形成准确概念，使“单调性”顺利融入学生的知识体系。

参考文献：

[1]肖凌戆.高中数学“优效教学”的理论与实践[M].陕西师范大学出版社，2015.

[2]葛永.提高数学试卷评讲有效性的探索[J].高中数学教与学，2012（12）：1-3.

[3]穆镇海.如何引导学生积极参与数学学习过程[J].中学数学教与学，2015（4）：5-8.

注：广州市教育科学“十二五”规划2014年度课题《“121”三段四环导学课堂教学模式的构建与实践》（1201442114）。

编辑 赵飞飞