阎群 李擎 崔家瑞 郭荣庆 颜贻宏

摘 要： 深入研究多重反馈二阶有源低通滤波器典型电路，提出一种参数优化设计的新方法。设计多重反馈二阶巴特沃斯有源低通滤波器，并用Multisim 13电路仿真软件对其进行仿真分析。仿真结果表明，采用该优化设计方法设计的有源滤波器幅频特性良好、系统稳定可靠、易实现。另外，不同元器件的精度对滤波器特性的影响是不同的，实际应用中可合理选择各元器件精度，在保证质量的前提下降低成本。

关键词： 多重反馈； 低通有源滤波器； 巴特沃斯； 优化设计； 电路仿真； 仿真分析

中图分类号： TN713+.8?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2018）14?0014?05

Optimization design and simulation of second?order active low?pass

filter with multiple feedbacks

YAN Qun1， LI Qing1， CUI Jiarui1， GUO Rongqing2， YAN Yihong2

（1. School of Automation， University of Science and Technology Beijing， Beijing 100083， China；

2. East Lake Technology （Beijing） Co.， Ltd.， Beijing 100096， China）

Abstract： A new method of parameter optimization design is proposed by means of the in?depth study of the typical circuit of second?order active low?pass filter with multiple feedbacks. The second?order Butterworth active low?pass filter with multiple feedbacks was designed. The simulation analysis is performed for the filter by using the Multisim 13 circuit simulation software. The simulation results show that the active filter designed by the optimization design method has a good amplitude?frequency characteristic， and the system is stable， reliable and easy to implement. The precision of different components has different effects on filter features， so in practical application， it is advisable to rationally select the precision of various components， so as to reduce the cost on the premise of guaranteeing the quality.

Keywords： multi?feedback； low?pass active filter； Butterworth； optimization design； circuit simulation； simulation analysis

0 引 言

滤波器是一种从被噪声畸变或污染了的信号中提取有用原始信号的电路[1?2]。由运算放大器和电阻、电容构成的有源滤波器具有输入阻抗高、输出阻抗低、可提供一定增益、截止频率可调等特点，在通信、信号处理、仪器仪表和自动控制等领域有着广泛的应用[1，3]。滤波器的设计任务是根据给定的截止频率、通带增益、品质因数等性能指标选定电路拓扑、滤波特性并确定元器件参数[4]。如何快速有效设计出性能优良或元器件参数易选的通用有源滤波电路，是电路设计者感兴趣的课题，也是制约有源滤波器的瓶颈。因此，开展有源滤波器的优化设计具有十分重要的理论意义和现实价值。

有源滤波器简单有效的设计方法是查表法 [1?3]，但表格的覆盖范围有限，不能满足普遍情况的需要，没有给出必要的理论根据，设计者不明白其取值的根据。常见的有源滤波器电路拓扑有压控电压源型（VCVS）和无限增益多路反馈型（MFB）两种。文献中对VCVS滤波器的优化设计进行了大量研究，但有关MFB滤波器优化设计的文献较少。文献[5]对两种拓扑低通滤波器的传递函数进行推导和分析，利用德州仪器公司有源滤波器设计软件FilterPro辅助完成设计。文献[6]简单给出了一阶和二阶MFB低通滤波器的传递函数及电路参数计算方法，但未给出必要的理论根据和具体的计算通式。文献[7]对MFB低通滤波电路的传递函数进行了理论推导，利用PSpice软件仿真确定元件参数的范围，然后通过实验细化参数，直至满足设计要求指标。

有源低通滤波器是滤波器中应用最为广泛的一种。本文从典型的二阶低通滤波电路传递函数分析着手，深入研究了多重反馈低通滤波器参数优化设计问题，给出了优化设计通式，在保证良好的幅频特性基础上，首先根据滤波器的性能指标及经验公式确定电路中电容值，然后精确匹配电阻值。详细设计了多重反馈单位增益二阶巴特沃斯有源低通滤波器，并用Multisim 13软件对其进行了频率特性分析和参数扫描分析。仿真结果表明，采用该优化设计方法设计出的滤波器交流特性符合理论设计，具有幅频特性良好、系统稳定可靠等优点。不同元器件的精度对滤波器特性的影响是不同的，实际应用中合理选择各元器件的精度，在保证质量的前提下可降低成本。

1 多重反馈二阶有源低通滤波器分析

多重反馈二阶有源低通滤波器电路如图1所示。信号由运放的反向端输入，输出端通过[R3]和[C3]构成两个反馈支路，反馈强弱与信号频率有关。由于理想运算放大器的增益为无穷大，因此称为无限增益多路反馈滤波器。在该滤波器中[R1]和[C1]构成低通级，[R2]和[C2]构成积分环节，这两级电路同时表现为低通特性。

根据理想运算放大器两个输入端的电位近似相等、两个输入端可视为等效开路，即运放的“虚短”“虚断”特性有：

[V2=0] （1）

[V1-V2R2=sC2（V2-Vo）] （2）

由基尔霍夫电流定律，并结合欧姆定律则有：[Vi-V1R1=sC1V1+V1-V2R2+V1-VoR3] （3）

联立求解式（1）～式（3）可得该多重反馈二阶低通滤波器的传递函数为：

[Hs=Vo（s）Vi（s） =-R3R1×1R2R3C1C2s2+1R1+1R2+1R31C1s+1R2R3C1C2] （4）

由以上分析可见多重反馈低通滤波电路具有倒相作用。

2 多重反馈二阶低通滤波器优化设计

2.1 优化设计通式

二阶低通滤波器归一化传递函数可表示为：[Hs=Hups2+αs+β] （5）

令[s=sωc]，去归一化二阶低通滤波器的传递函数通式为：

[Hs=Hupω2cs2+αωcs+βω2c] （6）

式中：[Hup]为滤波器的通带增益；[ωc]为滤波器的截止频率；滤波器的品质因数[Q=βα]，[α]，[β]为二项式的系数，当[α]，[β]优化为不同的值时，便可设计出不同的滤波器类型。对照式（4）和式（6）可得：

[βω2c=1R2R3C1C2Hupω2c=-R3R1×1R2R3C1C2αωc=1R1+1R2+1R31C1] （7）

这里不妨令[R3=AR1]，[C2=mC1]，那么，有：

[Hup=-βR3R1=-βA] （8）

[βmω2cC21R23-αωcC1R3+A+1=0] （9）

式（9）为[R3]的一元二次方程，[R3]一定有实根，则必然有：

[Δ=（αωcC1）2-4βmω2cA+1C1≥0]

即：

[m≤α24β（A+1）] （10）

求解式（9）可得：

[R3=α±α2-4βm（A+1）2βmωcC1] （11）

将[R3]代入式（7）可求得：

[R2=α?α2-4βm（A+1）2βm（A+1）ωcC1] （12）

至此，只要选定电容[C1]和m的值就可以根据滤波器的性能指标要求设计任意特性的多重反馈型二阶低通滤波器。

2.2 优化设计步骤

一般來说，能够购买到的电容器的容量值只是E6系列或E12系列中所具有的值，特殊容量值的电容器需要特殊订货，其价格高且交货期长，而且厂家往往不愿意少量制作。而对于电阻器来说，可以购买到E96系列或E24系列的电阻值，价格低廉、误差小、温度特性稳定[2]。因此，优化设计首先选定电容器的值，然后根据滤波器的性能指标精确匹配电阻值，优化设计可按下列步骤进行。

1） 选择滤波函数。根据待设计滤波器的性能指标选择滤波函数并查表[4]求得其归一化二项式系数[α]，[β]。

2） 确定电容[C1]的值。根据截止频率[fc]依靠经验确定电容的值[8]，[ωc=2πfc]，[C1=C]具体见表1。

表1 截止频率与电容取值

Table 1 Values of cut?off frequency and capacitance

[截止频率[fc] 电容C [≤100 Hz] [1.0～0.1 μF] [100～1 000 Hz] [0.1～0.01 μF] [1～10 kHz] [0.01～0.001 μF] [10～100 kHz] [1 000～100 pF] [≥100 kHz] [100～10 pF] ]

3） 求取[A]。根据通带增益[Hup]，确定电阻[R3]，[R1]的比值[A]，[A=Hup]。

4） 选取[m]并求取电容[C2]的值。由式（10）合理选取电容[C2]与[C1]的比值[m]，[C2=mC1]，显然[m=α24β（A+1）]时计算最简便。

5） 确定[R1]，[R2]，[R3]的值。由式（11）、式（12）求取电阻[R3]，[R2]并取标称值，[R1=R3A]。

6） 确定电阻[R4]的值。匹配电阻[R4=R2+R1?R3]。

7） 选择集成运算放大器。要合理地选择集成运算放大器。为保证所设计的滤波器能够稳定的工作，一般要求所选集成运放在截止频率附近的开环电压放大倍数[Av]满足[Av≥50C1C2]， 一般集成运放的开环电压放大倍数都在[105]以上，这个条件很容易满足。

3 多重反馈二阶巴特沃斯低通滤波器设计

理想低通滤波器能够让从零频（即直流）到截止频率[ωc]之间的所有信号都没有任何损失和通过，而让高于截止频率[ωc]的所有信号完全阻塞。具有理想特性的滤波器是很难实现的，只能用实际特性去逼近理想特性[1?2]。常用的滤波器频率响应类型[2]有巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebychev）和贝塞尔（Bessel）3种。巴特沃斯低通滤波器由于其通频带内具有最大平坦幅度响应，与其他两种滤波器相比，在衰减特性、相位特性和响应特性等方面具有特性均衡的优点，在实际应用中己被列入首选[9]。接下来以二阶巴特沃斯有源低通滤波器为例来研究多重反馈二阶低通滤波器的优化设计问题。

二阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数为[10]：

[Hs=Hupω2cs2+1.414 2ωcs+ω2c]

对于多重反馈单位增益二阶巴特沃斯低通滤波器设计来讲，[α=1.414 2]，[β=1]，[Hup=-1]，[m]至少存在一个最方便的选择，即[m=14]，这时计算非常方便，[R3=22ωcC1]，[R2=2ωcC1]。设计截止频率[fc=100 Hz]的多重反馈单位增益二阶巴特沃斯低通滤波器，具体设计数据见表2。根据实际选择参数重新计算得到通带放大倍数[Hup=-1]，截止频率[fc=100.035 1 Hz]。

4 仿真研究

4.1 搭建仿真电路图

Multisim 是专门用于电子线路仿真的“虚拟电子工作台”软件，它将电路的原理图、功能测试和仿真结果汇集到一个电路窗口，具有界面形象直观、元器件种类多、仪器仪表齐全、分析方法多样、操作方便等优点[11?12]，既可进行电路设计，也可对所设计的电路进行各种功能模拟仿真试验。

按图2所示在Multisim 13环境下搭建优化设计的多重反馈二阶单位增益巴特沃斯低通滤波器，集成运算放大器选用AD8040AR。信号源XFG1设置输入信号（[Vi]），示波器XSC1观察输入、输出信号（[Vo]）波形，频率特性测试仪XBP1测试电路的频率特性。

4.2 观察输入/输出波形

双击信号源XFG1设置输入信号[Vi]频率为1 Hz、峰值为1.0 V，双击示波器XSC1图标，启动仿真，用虚拟示波器测得的输入/输出波形如图3所示。

从虚拟示波器测得的输入/输出波形来看，输入/输出信号的幅值大致相等，相位相差[180°]。移动光标T1和T2测量输入和输出信号的幅值分别为979.6 mV和-974.058 mV，近似计算此时的增益[Hup（1 Hz）=Vo1Vi1=-974.058979.6≈-0.994]，可见，该滤波器的通带增益[Hup≈-0.994]，满足设计要求。

测试结果表明，优化设计的多重反馈单位增益二阶巴特沃斯有源低通滤波器的通带增益[Hup≈1.000 46]，截止频率[fc≈100 Hz]。输入信号频率小于[fc]时，输出幅度基本稳定；输入信号频率大于[fc]后，随着频率增大输出衰减较快，大约为[-40 dB10]倍频程。该电路完全达到了设计要求。

4.4 参数扫描分析

为了获得电路中元器件参數在一定范围内变化时对优化设计的低通滤波器幅频特性的影响，采用Multisim 13的参数扫描功能对电路进行分析。图2中电阻[R1]，[R2]，[R3]和电容[C1]，[C2]分别取优化设计值变化-20%，0，20%三值进行参数线性扫描，仿真结果如图6、图7所示。

每个元器件同样是变化[±]20%，但对幅频特性的影响是不同的。电阻[R1]，[R3]明显影响通带增益。电阻[R2]和电容[C1]，[C2]对通带增益的影响不明显，但对通带宽度有影响，[C1]影响最明显，[C2]次之，[R2]最小。当[C1]增加、[C2]和[R2]减小时，幅频特性从左向右移动，通带宽度变宽；当[C1]减小、[C2]和[R2]增加时，幅频特性从右向左移动，通带宽度变窄。优化低成本设计时，可以相对放宽对[R2]，[C1]的精度要求，以降低成本，同时需要保证[C2]和[R1]，[R3]的精度，尤其要保证[R3]与[R1]比值的精度，以保证质量。

5 结 语

本文详细推导了多重反馈型有源滤波器的传递函数，给出了一种参数优化设计通式，首先根据滤波器的性能指标选取滤波器的频率特性，然后根据经验选取电容[C1]，[C2]，最后根据灵活选取的电容[C1]，[C2]以及滤波器的性能指标计算匹配的电阻[R1]，[R2]，[R3]，[R4]。该设计思路清晰，过程简便，不仅克服了查表法数据受限的问题，而且避免了定制电容耗时较长、价格较高、精度较低等问题。Multisim 13仿真结果表明，该参数优化设计方法具有较好的实用价值。

参考文献

[1] 谢自美.电子线路设计·实验·测试[M].2版.武汉：华中科技大学出版社，2006.

XIE Zimei. Electronic circuit design·experiment·test [M]. 2nd ed. Wuhan： Huazhong University of Science & Technology Press， 2006.

[2] 远坂俊昭.测量的电子电路设计：滤波器篇[M].彭军，译.北京：科学出版社，2006.

ENSAKA Junaki. Electronic circuit design for measurement： filter text [M]. PENG Jun， translation. Beijing： Science Press， 2006.

[3] 林红，周鑫霞.模拟电路基础[M].北京：清华大学出版社，2007.LIN Hong， ZHOU Xinxia. Analog circuit foundation [M]. Beijing： Tsinghua University Press， 2007.

[4] J L 希尔本，D E 约翰逊.有源滤波器设计手册[M].北京：地质出版社，1980.

HILL BEN J L， JOHNSON D E. Design handbook of active filter [M]. Beijing： Geological Publishing House， 1980.

[5] 张涛，郑大威.基于FilterPro的有源滤波器的快速设计与分析[J].现代电子技术，2016，39（8）：115?117.

ZHANG Tao， ZHENG Dawei. FilterPro?based rapid design and analysis of active filter [J]. Modern electronics technique， 2016， 39（8）： 115?117.

[6] 刘鑫，刘琪芳，高文华.有源低通滤波器仿真设计教学研究[J].电气电子教学学报，2013，35（3）：59?61.

LIU Xin， LIU Qifang， GAO Wenhua. The simulation design of active low?pass filter [J]. Journal of electrical & electronic education， 2013， 35（3）： 59?61.

[7] 王騰飞，王腾帅，张宗艳.基于负反馈的低通滤波器设计[J].机电工程，2015，32（9）：1267?1270.

WANG Tengfei， WANG Tengshuai， ZHANG Zongyan. Design of low?pass filter based on negative feedback [J]. Mechanical & electrical engineering magazine， 2015， 32（9）： 1267?1270.

[8] YANG Y， JIANG Y， LI X， et al. Optimal design of voltage?controlled voltage source second?order unit gain Butterworth low?pass filter [C]// Proceedings of International Conference on Electric Information and Control Engineering. Wuhan： IEEE， 2011： 4318?4321.

[9] 赵晓群，张洁.巴特沃斯低通滤波器的实现方法研究[J].大连民族学院学报，2013，15（1）：72?75.

ZHAO Xiaoqun， ZHANG Jie. Research on implemental methods of Butterworth low?pass filter [J]. Journal of Dalian Nationalities University， 2013， 15（1）： 72?75.

[10] 徐志国，杨娟.基于WEBENCH的巴特沃斯低通滤波器的设计[J].金陵科技学院学报，2014，30（4）：29?33.

XU Zhiguo， YANG Juan. The design of Butterworth low?pass filter based on WEBENCH [J]. Journal of Jinling Institute of Technology， 2014， 30（4）： 29?33.

[11] 吕波，王敏.Multisim 14电路设计与仿真[M].北京：机械工业出版社，2016.

L? Bo， WANG Min. Design and simulation of Multisim 14 circuit [M]. Beijing： China Machine Press， 2016.

[12] 李端，艾永乐.基于Multisim的二阶有源滤波器的研究[J].北京电子科技学院学报，2009，17（2）：12?16.

LI Duan， AI Yongle. Application of Multisim 7 in electronic circuit teaching [J]. Journal of Beijing Electronic Science and Technology Institute， 2009， 17（2）： 12?16.