四川外国语大学附属外国语学校 郭 东

数形结合是数学解题中常用的思想方法，尤其是其中的“以形助数”，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，特别是在高考选填题中。以下就用例子来向大家展示：

一、在函数中的魔力

例1 已知函数f（x）满足下列关系：①f（x+1）=f（x-1）;②当x∈[-1，1]时，f（x）=x2，则方程f（x）=lgx解的个数是（ ）

A.5 B.7 C.9 D.10

解：由题可知，f（x）是以2为周期，值域为[0，1]的函数。又f（x）=lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数。由图象可知共9个交点，故选C。

二、在方程和不等式中的魔力

例2 当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2＜logax恒成立，求a的取值范围。

解：设 T1：f（x）=（x-1）2，T2：g（x）=logax，则T1的图象为如右图所示的抛物线，要使对一切x∈（1，2），f（x）＜g（x）恒成立，即T1的图象一定要在T2的图象的下方，显然a＞1，并且必须也只需g（2）＞（f2），故loga2＞1，a＞1，∴1＜a≤2。

三、在三角函数中的魔力

例3 已知sinα＞sinβ，那么下列命题正确的是（ ）

A.若α，β是第一象限角，则cosα＞cosβ

B.若α，β是第二象限角，则tanα＞tanβ

C.若α，β是第三象限角，则cosα＞cosβ

D.若α，β是第四象限角，则tanα＞tanβ

四、在数列中的魔力

例4 设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值。

解：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S4=4a1+6d≥10，即2a1+3d≥5，

S5=5a1+10d≤15，即a1+2d≤3，又a4=a1+3d，

因此求a4的最值可转化为在线性约束条件 限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域，如图所示：

可知当a4=a1+3d，经过点A（1，1）时有最大值4。

五、在解析几何中的魔力

例5 已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）

解：点Q（2，-1）在抛物线y2=4x的内部，要使点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值，根据抛物线的定义知，须使点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线准线距离之和最小，即PQ⊥准线l时最小，则，故选A。

总之，数形结合思想在各个模块及高考中占有非常重要的地位，“数”与“形”结合，相互渗透，使抽象思维和形象思维有机结合。应用数形结合思想，将数量关系和空间形式巧妙结合来寻找解题思路，使问题得到解决。