范伟

代数、几何、三角知识的综合运用能力是考查学生数学核心素养的重要指标，也是中学数学教学研究的一项重要课题。本文希望通过一些具体实例的研究，就几何证题中运用代数方法的某些类型提出探讨。

一、用方程法证明几何命题

在几何证题中，经常遇到这样的题目，题中的各个几何量的关系都已找出，但这些关系交叉错杂，很难理出头绪，总觉得推理论证中思路不够清晰。要是学生能将已知的几何量之间的关系，用一系列的等式表示出来。用列方程（或方程组）的方法加以整理和变形，就能找出它们的内在联系。

例1.在Rt△ABC中，D、E是斜边AB上两点，且AD=AC，BC=BE，又EF⊥CD，F为垂足，求证：EF=CF。

分析与证明：题中有若干等腰三角形、直角三角形，因此存在相等、互余、内外角关系等，这些关系交错纷纭，初中生刚接触几何证明题，容易搞成一团乱麻，将这些关系列成一组等式，情况就清楚了。如图1，欲证EF=CF，只需证∠ECF=∠CEF=45°。设∠ECF为∠α，∠CEF为∠β，有：

∠1+∠α+∠2=90° ①

∠α+∠2=∠β+∠3 ②

∠β+∠3=∠A+∠1 ③

∠1+∠α=∠4 ④

∠4=∠B+∠2 ⑤

∠A+∠B=90° ⑥

在这组等式中，等式①与等式⑥是等价的，只要用一个就可以了，这也是运用方程法时经常遇到的问题。在五个等式里，仿照解方程组的方法消去∠α，∠β的几何量，就可以得出∠α与∠β的关系：

由④⑤得∠1+∠α=∠B+∠2；由②③得∠α+∠2=∠A+∠1。則2∠α+∠1+∠2=∠B+∠2+∠A+∠1，所以2∠α=∠A+∠B=90°，所以∠α=45°=∠β。

运用方程法解几何题对培养学生逻辑推理能力，抓住事物的本质，能够判别出哪些条件是必要的，哪些是多余的，哪些是独立的，哪些是重复的？这种能力对他们将来的学习是很有帮助的。

二、用反证法证明几何命题

反证法（又称归谬法）属于间接证明方法。……