邓 丽

（韶关学院 数学与统计学院，广东 韶关512005）

随着金融、保险、股东制度的盛行，公司的现金流优化问题也越发受到重视，即制定最优红利策略使得股东的期望收益值最大.如果公司只考虑股东的最优红利，就会加速公司破产；如果只考虑破产概率最小，就会使股东利益受损，挫伤其投资积极性，因此公司最优红利问题通常结合风险模型进行讨论.1957年De Finetti［1］讨论了离散经典风险模型的最优红利策略，从而提出了风险理论的分红问题.目前关于Barrier 策略［2-3］和 Threshold 策略［4-6］的讨论较多，也有学者讨论复合二项对偶模型的最优分红［7-8］和随机利率下相依索赔的离散风险模型的分红问题［9］.本文讨论对偶模型下公司红利的最优分配方法，运用压缩映射理论和Berman递归算法在R软件中进行数值模拟，得出最优的红利策略是Threshold策略，数值模拟的结果说明结合风险模型讨论的公司最优红利更有意义.

1 最优值函数

讨论红利问题的对偶模型为：

其中c∈N+表示公司在时间区间(t-1,t］内的投资，S(t)表示公司直到时刻t的累积收益.

在考虑随机投资的复合二项模型中，假设任意(t-1,t］内最多有一次收入Xt(i.i.d.)，其概率函数f(x)=Pr(Xt=x)用εtct=1(或0)表示在(t-1,t］内支出为Ct的条件下有一次收入（或没有收入），{εtct}(i.i.d.)与{Xt}相互独立，满足：

任意的时刻t，Θ表示可行的分红策略Φ的集合，则Φ是关于盈余x的函数［7］.与实际结合，假设在t=0时不考虑分红，每个时刻分红的上界为.在Φ控制下破产时刻Γ前全部红利的期望贴现值为［7］：

其中0

定理1 假设0

且对∀Φ∈Θ，u∈N，值函数V(u)最优当且仅当：

记最优的 Φ 为 ΦV［7］.

2 Berman递归算法

定义1 对∀X,Y∈H，d(X,Y)=‖x(u)-y(u)‖为H(N上的全体有界实值函数组成的集合)上的一个距离，显然∀Φ∈Θ，相应的值函数V(u)∈H，H=(H,d)是一个Banach空间.定义H上的算子T：则在0

根据式（4）和式（6），任意给定函数V(u)的一个初始值V0(u)，运用Berman递归算法可由式（7）计算序列{V1(u),V2(u),…,Vn(u)…}：

由定义1知V*(u)是T的一个固定点，则，估计的精度为：

3 数值模拟

V*(u)的方程中的x取值可趋于无穷，计算机编程计算有困难，因此，本文考虑V*(u)的近似值.定义2 ∀u,n0∈N，则：

由文献［8］知：

计算得误差的上限为：控制n0的值可确定估计的精度，即可要求d(V1*,V2*)→0.在数值计算中，当n0足够大时(可给定误差来确定)，可以用V1*(u)或V2*(u)的值作为V*(u)的近似值.

对∀∈N，根据定义1给出两个满足压缩映射的算子T1和T2分别变换V1*(u)和V2*(u)，运用不动点原理和递归算法，在R软件中就可以编程计算出V1*(u)或V2*(u)的值，本文给出了V1*(u)和V2*(u)的部分值，并给出相应结论.

例1 假设单位时间内支出Ct和对应的收入概率Pci的分布列如表1所示，收入均值为μ=17.5，要求=7.

表 1 Ct和 Pci的分布列

（2）假设收入是泊松分布.

（3）假设收入是离散的均匀分布U(1,34).

给定误差（8）、（12）的上限为0.001，贴现因子r=0.96,0.97,0.98.在R软件中计算出3种分布下最优红利策略都为门槛策略，门槛值分别为：b1=22,26,32；b2=18,21,25；b3=20,23,28.符合分布的特点.因为均匀分布的概率不受收入的影响，混合几何分布的概率随着收入的增加逐渐减少，而泊松分布在收入均值17.5附近的概率值较大，在相同的模型、收入均值、误差上限和利率等条件下，混合几何分布的门槛值略高于泊松分布，泊松分布的门槛值又略高于均匀分布.又因为这里收入均值不大，因此它们之间的门槛值差距也不大，符合实际.

（1）假设收入是混合几何分布，概率函数如下：

表2 3种分布下V1*和V2*的最优分红策略Φ*(u)

当r=0.97时混合几何分布V1*(u)和V2*(u)的部分值见表3，可看到V1*(u)和V2*(u)值非常接近，最优值函数V*(u)可通过V1*(u)或V2*(u)近似，这也说明了Berman递归算法的可行性.当资金较小时，每增加一单位，最优红利总值增加较明显，后期增长幅度逐渐下降，在分红有上界的限定下，V*(u)是增幅逐渐递减的递增函数.也可根据不同的问题设定合理的误差上限来提高精度.

表3 混合几何分布下V1*(u)和V2*(u)的部分值(r=0.97)

当r=0.97时离散均匀分布下的部分数值见表4.其他条件不变的前提下，当u较小时贴现因子的变动对总红利影响较显著，因为总注资过低公司的运营受外界影响因素波动较大，公司的资金大部分投入生产和避风险，分红量不够稳定，贴合实际.

表4 均匀分布下的部分值(r=0.97)

4 结论

对偶模型是经典风险模型的一个延伸，本文讨论了随机投资下对偶模型的数值模拟，得出几种常用的离散分布的最优红利策略为门槛策略，在均值相同的时候得出的门槛值相差不大，与收入分布又有密切的联系，说明文中模型的可行性.实际问题中可以根据不同的情况确定收入分布，应用到公司的红利优化中.后期的研究还可考虑在公司破产前注资，随机利率等马氏优化决策方法.