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通过一道题将知识连成片、串成串

2018-07-20北京公衍录

教学考试(高考物理) 2018年1期
关键词:洛伦兹分力安培力

北京 公衍录

通过对一道题的多求、多变等,将相关的知识点连成片、串成串,形成知识结构,这无疑是习题教学中比较好的做法,下面以2016全国卷Ⅱ第23题为例加以说明。

【题目】如图1,水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻,质量为m、长度为l的金属杆ab置于导轨上。t=0时,金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动,t0时刻,金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域,且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计,两者始终保持垂直且接触良好,两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求:

(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小;

(2)电阻的阻值。

【解析】(1)如图2,在0~t0时间内,对金属杆受力分析,

根据牛顿第二定律得:F-μmg=ma①

设杆进入磁场瞬间的速度为v,则v=at0②

由法拉第电磁感应定律可知,E=Blv③

(2)杆进入磁场后,还受水平向左的安培力F安=BIl⑤

由杆在磁场中做匀速直线运动可知,

F-μmg-F安=0 ⑥

【点评】本题考查了共点力的平衡条件、牛顿第二定律、匀变速直线运动等力学知识在电磁感应问题中的应用。

杆在磁场中的匀速运动是一种典型的物理模型,下面借助此模型对该题进行一题多求、一题多变的拓展变化。

一、一题多连

1.在原题中,当杆进入磁场以速度v匀速时,试证明在一段时间t内,恒定拉力F对杆做的功W等于电路获得的电能E电,也等于回路中产生的焦耳热Q。

【证明】杆匀速,受力平衡,拉力F=F安,因此拉力F对杆所做的功W等于杆克服安培力做的功,即W=F安x,又F安=BIl,x=vt,电动势E=Blv,电荷量q=It,故W=BIlvt=EIt=Eq;

由焦耳定律Q=I2Rt,闭合电路的欧姆定律E=IR,电荷量q=It,故Q=EIt=Eq。

所以在一段时间t内,恒定拉力F对杆做的功W等于电路获得的电能E电,也等于回路中产生的焦耳热Q。

2.试用多种方法推导杆中产生的感应电动势大小E=Blv,式中v为杆进入磁场做匀速运动的速度。

【推导】方法一:由法拉第电磁感应定律推导

方法二:利用电动势的概念推导

方法三:由杆中自由电子受力平衡推导

杆作为电源,由于其电阻忽略不计(内电阻为零),内电压为零,故杆两端电压(路端电压)U等于电动势E,因此电动势为E=U=Blv。

方法四:由功能关系推导

通过拉力克服安培力做功将其他形式的能转化为电能,又通过电流做功将电能转化为内能。故拉力克服安培力做功的功率,等于电路中电流做功的功率,即P克安=P电,又P克安=F安v=BIlv,P电=EI,联立解得:E=Blv。

或由纯电阻电路,拉力克服安培力做功的功率,等于电路中的电热功率,即P克安=P热,又P克安=BIlv,P热=I2(R+r),E=I(R+r),联立解得:E=Blv。

或由拉力克服安培力做的功,等于杆(电源)中非静电力做的功,即W拉=W非,又W拉=BIlx,x=vt,电荷量q=It,W非=qE,联立解得:E=Blv。

3.推导电流的微观表达式。

设杆中单位体积内有n个自由电子,杆中所有自由电子均以速度ve相对杆做匀速直线运动。杆的横截面积为S,电子的电荷量为e,试推导杆中电流的微观表达式为I=nveSe。

4.试证明杆受的安培力F安,等于杆中所有自由电子受水平向左洛伦兹力分力的总和f总。

【证明】电子以速率ve相对杆由a向b定向移动,由左手定则,每个电子受水平向左、大小为fx=eveB的洛伦兹力分力,杆内总电子数N=nSl,所有电子受水平向左洛伦兹分力的总和f总=Nfx,又I=nveSe,联立解得f总=BIl。又杆在磁场中匀速运动时,受水平向左的安培力,F安=BIl,故f总=F安,得证。

5.试证明洛伦兹力不做功。

【证明】杆中电子受水平向左的洛伦兹力分力fx=eveB,其做功功率为Px=-fxv=-eveBv;杆中电子受沿杆的洛伦兹力分力fy=evB,其做功功率为Py=fyve=evBve,所以Px+Py=0,即洛伦兹力的两个分力做功功率之和为零,故洛伦兹力不做功。

二、一题多变

【变式1】原题中,如果在杆匀速运动的某一时刻、突然将拉力F撤去,经过时间t杆停止运动,则在从撤去拉力到杆停止运动的过程中:

(1)杆的加速度的大小如何变化?

(2)流过回路某一横截面的电荷量是多少?

(3)杆运动的位移大小是多少?

(4)安培力对杆所做的功是多少?产生的焦耳热、摩擦生热各是多少?

【变式2】杆进入磁场后,若在回路中磁感线穿过的面积为S时记作t=0时刻,从此时刻起,让磁感应强度逐渐减少,则磁感应强度Bt应怎样随时间t变化(写出Bt与t的关系式),才能使回路中不产生感应电流?

【解析】解法一:从功的角度求解

解法二:从功率的角度求解

解法三:从力的平衡角度求解之一

如图4所示,因为杆以速度v水平向右运动,电子受到洛伦兹力沿杆方向的分力fy作用,方向由a端指向端b,大小fy=evB。

沿杆方向,电子还受到杆两端电压(路端电压)形成的电场给的电场力作用,方向由b端指向a端,

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