桂　弢

(江苏省清河中学 　223001)

1　问题的提出

已知平面上的点P(x0,y0)，直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)， 求点P到直线l的距离d.

图1

对于直线l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)外一点P(x0,y0)，过点P作PQ⊥l，垂足为Q. 过点P分别作x轴、y轴的平行线，交l于点M(x1,y0),N(x0,y2).

由Ax1+By0+C=0,Ax0+By2+C=0，得

PQ是Rt△PMN斜边上的高，由三角形面积公式可知

当A=0或B=0时，此式仍然成立.

图2

为什么要选择等面积法呢？ 教学参考书是这样解释的：定义法是常规方法，思路比较清晰，但计算量较大；一般情况下，点到直线距离公式的推导是采用等面积法的思路.

不少教师教学时也是这样说和这样做的，这不禁让人产生几点疑惑：

1.定义法真的计算量较大吗？一个例子就能说明这一问题吗？

2.除了这两种方法外，是否还有其他的推导方法或更简洁的推导方法呢？

带着这些问题，笔者设计了一次研究性学习活动，专门安排学生探究点到直线距离公式的推导. 放开手后，发现学生的创造力是巨大的，给出了不少新颖的推导方法. 现将学生的智慧结晶以及本人的一些思考整理出来介绍给大家，欢迎指正.由于特殊情形A=0或B=0对一般结论总是成立的，为了行文简洁，下面只研究A≠0,B≠0的情形.

2　多视角探究，彰显联系

唯物辩证法认为事物是普遍联系的. 所谓联系，是指事物之间以及事物内部诸要素之间的相互依赖、相互影响、相互制约和相互作用. 联系具有普遍性、客观性和多样性. 用联系的观点看问题，可以让我们的视野更开阔，看问题也更全面，联系也是数学的本质之一. 对于点到直线距离公式的推导，可以从多……