周　强， 张瑞瑞， 陈　晗

(陕西科技大学 电气与信息工程学院， 陕西 西安　710021)

0　引言

电力系统中谐波是影响电能质量的重要因素，谐波使得电网电能的有效含量降低，使电气设备过热、产生振动和噪声，缩短用电设备的使用寿命等[1].因此，对谐波的研究以及治理已成为了一个具有重要意义的课题.

治理电力系统谐波的前提是实时、准确的分析出谐波中不同成分的种类和含量.由于电力系统谐波常常是一个时变信号，同时电网中含有大量的具有非平稳随机特性的噪声干扰，目前广泛使用的傅里叶变换不能准确地在噪声干扰中提取谐波信号，更重要的是傅里叶变换是将整个时间域上的信号投影到频率域，它不具有时间分辨率，无法及时地反映发生时变的谐波成分.

针对这一问题，本文利用小波变换、小波包变换和短时傅里叶变换分析等同时具有时间和频率分析能力的时-频分析方法，将含有噪声且具有时变性的电力谐波映射到“时间-频率-幅值”的三维空间进行分析，从这些分析方法的准确性、时-频分辨率、抗噪能力等几个方面展开研究对比，探索分析电力系统谐波的最佳方法.研究表明：短时傅里叶变换在分析电力系统谐波时具有优越性，可以成为实践中分析电力系统谐波的有效方法.

1　电网谐波及噪声成分

随着越来越多的非线性用电设备的使用，电网中谐波的种类和含量越来越多，对电力系统造成的危害也不断加大，其中电力系统中谐波主要包括整次谐波、间次谐波和分数谐波等，它们主要由发电设备、输配电设备和电力系统非线性负载三方面引起.由于发电机沿转子与定子之间气隙的磁通分布曲线不是完善的正弦波，导致发电机产生的电压波形不可能是完全不失真的正弦波，特别是转子与定子之间的气隙未能调整对称时，其输出的电压波形更会严重畸变[2].输配电设备的谐波主要来源于电力变压器，其铁芯大多工作于非线性的饱和状态，使得工作时的磁化电流为尖顶波形，从而产生奇次谐波.除此以外，电力系统中以电力电子装置为代表的非线性负载的使用所产生的谐波也占有越来越大的比重[3]，如晶闸管整流设备的广泛使用在对电信号变换的同时给电网中留下大量的谐波分量[4].此外变频装置因大多是靠相位控制，谐波成分比较复杂，除了整次谐波之外，还会产生一定含量的分数谐波，对电网谐波的影响也越来越大.

针对此问题，国家在国标《GB14549-93电能质量 公用电网谐波》中规定了电网中50 Hz工频及其2～25次谐波以内的谐波电流允许值，并明确指出测量谐波含量时一般注重第2到第19次谐波含量，为电力系统谐波分析的着重点指明方向.

对于复杂周期信号，当其幅值变化1%、频率变化0.5 Hz或相位改变0.1π%时称该信号发生时变.电力系统中电力变压器和电力电子装置工作参数的时变性，会造成电力系统主要谐波成分的时变.此外在分析电网中谐波含量时由于电网中含有大量高频噪声干扰，高频噪声频率大多指在200 KHz以下叠加在电力系统的相线、中性线或信号线中的噪声，这些都增加了对电网谐波成分准确分析及谐波时频分辨的难度.

电力系统中噪声干扰主要由操作、耦合和地磁引起的干扰、直流和厂用电系统操作引起的干扰以及大规模集成电路工作室引起的干扰等造成.电力系统噪声不仅危害巨大，例如由浪涌电压和高频振荡电流产生的噪声幅值大，易对电子装置产生噪声干扰，而由触电通断变化瞬间产生的高频噪声，经导线分布电容和绝缘电阻等侵入数字逻辑系统，会导致用电设备系统逻辑紊乱，甚至产生误动作[5]，而且噪声的频率成分丰富且很不稳定.

因此，电力系统谐波分析困难，不只因为电力系统中含有各次时变的谐波信号，同时电网随机噪声也增加了电网谐波分析的难度，为此建立电力系统谐波信号为s(t)数学模型

s(t)=N(t)+ω(t)+n(t)

(1)

式(1)中：N(t)为电网基波信号,ω(t)为谐波信号，n(t)为电网噪声信号.N(t)和ω(t)都是时变模型，n(t)是一个非平稳的随机信号.为了克服数学模型时变性和非平稳随机性造成的分析困难，本文使用时-频分析的各种方法对电力谐波进行实时分析.

2　电网谐波分析方法

时-频分析，是处理时变非平稳信号的有力工具.本文使用时-频分析工具将电力系统谐波信号投影到时间-频率-幅值的三维空间进行分析，以克服传统傅里叶变换的时-频局限性.

时-频分析主要包括短时傅里叶变换(STFT)、连续小波变换、小波包变换、希尔伯特黄金变换、Wigner-Ville变换和S变换以及广义S变换等，本文主要通过时-频分析的小波变换、小波包变换和短时傅里叶变换三种方法对电力系统谐波进行分析.

2.1　基于小波变换的分析方法

小波变换的本质是平稳信号的变化给其加上宽度可自行调节的窗口[6]，再进行变换处理.小波函数的确切定义为：设ψ(t)∈L2(R)，L2(R)是一个平方可积空间，若其傅里叶变换ψ(ω)满足小波函数的可容许条件:

(2)

则称ψ(t)为一个基本小波或者小波母函数[7].

将小波母函数ψ(t)进行伸缩和平移，就可以得到函数ψα,τ(t):

(3)

式(3)中：α为伸缩因子，τ为平移因子，ψα,τ(t)为依赖于参数α,τ的小波基函数[8].

本文利用公式(3)中的母小波，对公式(1)的电力系统模型进行连续小波变换(CWT)，如式(4)所示.

WTs(α,τ) =〈s(t),ψα,τ(t)〉=

WTs_N(α,τ)+WTs_ω(α,τ)+WTs_n(α,τ)

(4)

由公式(2)、(3)可往往见，连续小波变换与传统傅里叶变换相比，小波基有两个参变量：频率域中的伸缩因子α(=1/f)和时间域中的平移因子τ，电力谐波函数中的各种成分(基波、谐波和噪声)在经过小波变换时其原来的时间函数分别投射成了小波变换中的时间、尺度函数，而α和τ的伸缩平移性保证了该分析过程的时间分辨率和频率分辨率，所以对时变信号进行连续小波变换能很好地分析其在时间和频率上的变化[9].但是，由于公式(3)中的母小波可能不具有正交性，ω(t)的小波谱WTs_ω(α,τ)会受到n(t)的小波谱WTs_n(α,τ)干扰，即该方法的抗干扰性略显不足.

2.2　基于小波包变换的分析方法

连续小波变换具有频率分辨率不均匀的特点(低频分辨率高，高频分辨率低)[10].小波分析的方法一般是把低频系数分解成两部分：近似系数和细节系数，之后再将近似系数进一步分解成两部分，但对细节系数不再进行处理，而小波包变换如图1的小波包二叉树所示.会同时对细节系数进行细分处理[11]，因此使用小波包变换在处理一维信号时能产生完整的二叉树，大大提高了信号时频的分辨率[12,13].

图1　小波包变换二叉树

给出小波包变换的定义：由已知的正交尺度函数φ(t)和小波函数ψ(t)有

(5)

(6)

以及图1小波包二叉树所示，小波包变换的分解关系为：

(7)

(8)

式(7)中：hk为正交尺度函数的滤波器系数.

式(8)中：gk是小波函数的滤波器系数[14]，n,k为整数，Z为整数集.

当n=0时，ω0(t)=φ(t),ω1(t)=ψ(t).以上定义的函数集合{ωn(t)}n∈z为由正交尺度变换ω0(t)=φ(t)所确定的小波包,即

{ωn(t)}={ω0(t),ω1(t),…,ω2n(t)}=

{φ(t),ψ(t),…,φ(2nt),ψ(2nt)}

(9)

因此小波包{ωn(t)}n∈z是包含尺度函数ω0(t)和小波母函数ω1(t)在内的具有一定联系的函数的集合[15].本文使用小波包变换分析电力系统谐波信号，如式(10)所示.

WPT{ωn}(α,τ) =〈s(t),{ωn(t)})〉=

WPT{ωn}_N(α,τ)+WPT{ωn}_ω(α,τ)+

WPT{ωn}_n(α,τ)

(10)

与小波变换相比，小波包变换具有相同的时间分辨率和更强的频率分辨率(其高频分辨率显著强于前者)，能有效地分析具有时变性的电力系统谐波信号的时-频特性.但是由于构造的正交尺度函数的复杂性，使得该方法的运算量巨大.

2.3　短时傅里叶变换的分析方法

短时傅里叶变换是非平稳信号分析中使用的最广泛的方法之一.由于传统傅里叶变换分析信号时只能假设原始信号是周期变化的，所以传统傅里叶变换不能用于对非周期信号或者非平稳信号的分析，短时傅里叶变换的思想是对非平稳信号进行加窗，把信号分解成很多小的时间间隔近似成若干段平稳信号的叠加，再分别对每一段近似的平稳信号进行傅里叶分解[16]，短时傅里叶变换既解决了传统傅里叶变换没有时间分辨率的问题，也解决了小波变换在频域上的混叠问题.

对给定的电力系统谐波信号s(t)，通过窗函数h(t)定义新的信号st(τ)：

st(τ)=s(τ)h(τ-t)=

[N(τ)+ω(τ)+n(τ)]h(τ-t)

(11)

它是以t为参数的时段τ的函数，是原信号在t时刻附近τ时段的成分.对新信号做傅里叶变换，结果称为原信号的短时傅里叶变换，即

St(ω)=STFT[s(t)]=Sτ(st(τ))=

STFT[N(t)]+STFT[ω(t)]+STFT[n(t)]

(12)

式(12)中：脚标τ表示傅里叶算子F对应的积分变量.由于新信号st(τ)突出了原信号s(t)在t时刻附近一个时段的特性，所以新信号的傅里叶变换反映了原信号在该时段的频率分布状况[17,18].

由公式(12)可知，短时傅里叶变换同样能够完成电力系统谐波信号的时频分析过程，与前两种时频分析方法相比，短时傅里叶变换的抗噪能力较为突出，频率分辨率因其母函数(正弦函数)与被分析谐波的一致性而较前两种方法好，只是由于其尺度伸缩性不够灵活，其时间分辨率略显不足.本文将通过以下仿真验证这些结论.

3　仿真分析

3.1　电网信号模拟

在实际的电网中，电流成分主要包括包含基波(50 Hz)在内的奇次谐波和叠加一些频率随时间变化的非平稳信号构成，同时由于线路传输，供电设备不均衡等造成电网中时刻叠加着大量的高频噪声信号.

根据实际的电力系统，模拟仿真信号选用基波为50 Hz的正弦波，叠加3、5、7、9、11、15次稳态谐波，在此基础上增加三个频率突变时间点，用于检验三种分析方法的时间分辨效果，依次为：350 Hz到450 Hz随时间变化生成的频率渐变的谐波信号，时间点为0.333 s和0.667 s,与750 Hz突变为随时间增加能量指数增加的850 Hz谐波信号，突变时间点设置在0.500 s处，同时叠加基波信号的1/30幅值的白噪声信号作为高频噪声信号.因此，模拟电网信号表达式为：

s(t)=s1(t)+80s2(t)+80s3(t)+10s4(t)

(13)

其中：

s1(t)=300sin(50*2πt+0.1π)+

150sin(150*2πt+0.2π)+

100sin(250*2πt+0.3π)+

sin(550*2πt+0.1π)+

(14)

(15)

(16)

s4(t)是一幅值为10的高频噪声信号.

上述模拟电力系统谐波信号时域的波形图如图2所示.

3.2　小波变换对电网谐波分析

进行以上分析时，在采样频率fs=2 000 Hz，时间为(0 s

由图3可知，经小波变换后，s(t)的时频特性基本被反映出来.

(a)s(t)经小波变换的时频二维图

(b)s(t)经小波变换的时频三维图图3　电力谐波信号s(t)小波变换效果图

(1)时间分辨率：图3(a)中圈出的频率突变时间点，经查证，三个时间点分别是0.334 5 s、0.668 5 s和0.500 5 s,与原信号频率突变点对比可知小波变换分析电网谐波时基本没有延迟现象.

(2)频率分辨率：小波变换是将信号频率分段划分，所以不能完全准确的分析出特定频率点的信号，小波分析出来的是多个频率段的信号分量，信号在频率轴上不能集中在具体的频率点.

(3)抗噪能力：小波变换不能完全去除噪声的干扰，如图3(a)、(b)中所示时频图存在多条杂波信号的叠加，且小波变换难以解决混叠效应，若小波基函数选取不当，则还会产生原始信号中不存在的虚假分量.

3.3　小波包变换对电网谐波分析

类似，对电力系统模拟信号s(t)进行小波包变换，同样选取采样频率fs=2 000 Hz、分解层数level=5、小波包用“db”小波函数系列的消失矩为45的小波函数进行小波变换分析.

由图4可知，经小波包变换后，s(t)的时频特性更明显地反映出来.

(1)时间分辨率：和小波变换一样，图4(b)中圈出频率突变时间点依次为0.338 4 s、0.653 5 s和0.506 5 s，经对比原频率突变点，同样表明了小波包变换也具有很高的时间分辨率.

(2)频率分辨率：采样频率为fs=2 000 Hz，s(t)经小波包变换五层分解之后，每个小波包的范围是31.25 Hz，足够分解所有包括50 Hz及其以上的非平稳信号的频率，但也反面说明了小波包变换分解出来的电网谐波信号只是划分到正确的频率范围内，并无法实现具体频率点的分解.

(3)抗噪能力：s(t)经小波包变换之后仍叠加了大量的噪声信号含量，不具备明显的抗噪滤波的能力，且小波包函数的混叠现象并没有明显的改善.

(a)s(t)小波包二叉树分解示意图

(b)s(t)经小波包变换的时频二维图

(c)s(t)经小波变换的时频三维图图4　电力谐波信号s(t)小波包变换效果图

3.4　短时傅里叶变换对电网谐波分析

同样的当采用短时傅里叶变换对原始信号s(t)进行分析时，选择采样频率fs=2 000 Hz，在时间(0 s

由图5可知，经STFT变换后，s(t)的时频特性准确反映了出来.

(1)时间分辨率：图5(a)中圈出部分在查证后得出的频率突变时间点依次为0.372 5 s、0.516 s和0.701 5 s,经与原始频率突变点对比可看出STFT对信号频率的突变不敏感，其时间分辨率不够，对信号的响应速度较低.

(a)s(t)经STFT的时频二维图

(b)s(t)经STFT的时频三维图图5　电力谐波信号s(t) STFT效果图

(2)频率分辨率：通过图5(b)得出，短时傅里叶变换分析出的时频波形完全集中在设定的频率点附近，相比小波变换和小波包变化有很高的频率分辨率，能准确的分析出电力系统中的谐波成分.

(3)抗噪能力：通过图5(a)、(b)可以看出，STFT对信号的滤波特性很好，抗噪能力很强，变换后几乎不会突出其他噪声信号时频.

3.5　仿真结果分析

仿真表明，小波变换、小波包变换和短时傅里叶变换在分析时变信号时都具有时间和频率分辨能力.在分析时变信号的时间特性时，经对比三种分析方法的频率突变点的响应时间可知，小波变换在分析突变信号时的响应时间在0.001 s内，对于小波包变换的响应时间最大为0.015 s,而短时傅里叶变换的响应时间最长则达到0.392 s,由此可见，小波变换和小波包变换都具有较高的时间分辨率，对电网谐波分析的实时性较高，而短时傅里叶变换由于其窗函数不具有尺度变换能力，其时间分辨率稍有不足.

在分析时变信号的频率特性时，小波变换对时变信号的高频分辨能力差，小波包变换具有更好的高频分辨率，但小波变换和小波包变换只能将时变信号识别到一定的范围之内，不能准确的分析出时变信号的具体频率成分，而短时傅里叶变换具有最强的频率分辨率，能精确的分辨时变信号的频率信息.

对于抗噪能力，由于小波基函数和小波包基函数不是正弦函数，其函数难以做到正交，而短时傅里叶变换在对原始信号加窗后，使用正弦基作为母函数对信号进行傅里叶变换，而正弦函数是标准正交函数，所以短时傅里叶变换在分析电力系统谐波信号时，其抗干扰性能明显优于小波变换和小波包变换.

4　结论

本研究通过三种时-频分析方法对电力系统谐波的分析表明：小波变换、小波包变换和短时傅里叶变换都具有不错的时-频分析能力，小波变换和小波包变换虽然具有很高的时间分辨率但频率分辨性能不强，且抗噪滤波性能一般.对比短时傅里叶变换虽然具有相对稍差的时间分辨率，但其频率分辨性能和抗噪性能都是最强的.综合分析得出：短时傅里叶变换是电力系统谐波分析中最优秀的方法.