郝晓红 程智龙

(1.安徽信息工程学院基础教学部, 芜湖 241000) (2.苏州科技大学数理学院, 苏州 215009)

引言

近几十年来,可积系统的研究以及非线性偏微分方程的求解越来越受到一些专家学者的关注.一些有效的求精确解的方法不断被引用,如双线性方法、齐次平衡法、以及黎曼θ函数法[1-7]等等.

1996年,Lambert,Gilson,Nimmo建立了多项式与双线性算子之间的关系,通过转换关系得到双线性变换,这个方法很有效地避免了在求变换过程中使用交换公式繁琐的计算,简洁实用.并且直接对其做变换线性化还可以得到方程的Lax对,在此基础上,我们来研究(2+1)维AKNS方程[8-9]:

4uxt+uxxxy+8uxyux+4uyuxx+αuxx=0

(1)

其中α为一个常数,表示该系统方程具有耗散作用.方程(1)是Ablowitz,Kaup,Newell和Segur(AKNS)他们所发现的.令y=x,α=0,则(1)可以退化为位势KdV方程.Özer用improved tanh方法得出其行波解[9],Wazwaz用简化的双线性方法得出其孤子解[10].本文应用双多项式系统研究其可积性:如Bäcklund变换,孤子解以及Lax对等等.

1 多项式应用于AKNS方程

1.1 Bell多项式

设f=f(x1,x2,…,xn)是具有n个变量的C∞函数,则称:

Yn1x1,…,nlxl(f)≡Yn1,…,nl(fr1x1,…,rlxl)

(2)

为Bell多项式.其中:

当f=f(x,t,y)时,对应的(2+1)维Bell多项式为:

Yx,y,t=fx,y,t+fx,yft+fx,tfy+fxfy,t+fxfyft,

在上述定义中,

yn1x1,…,nlxl(v,w)=Yn1,…nl(f)|fn1x1,…,nlxl

则Bell多项式可以表示为函数具有v和w的形式.

同时y多项式和Hirota双线性D算子之间的转换关系:

yn1x1,…nlxl(v=lnF/G,w=lnFG)

(3)

其中n1+n2+…nl≥1.而且,当F=G时,

(4)

这样P多项式就可以写成含q的函数形式,如:

P2x(q)=P3x,y(q)=q3x,y+3q2xqxy

(5)

由性质(4)和(5)就能得出其双线性形式,接下来将Bell多项式yn1x1,…,nlxl(v,w)分离成P多项式和Y多项式的组合:

=yn1x1,…nlxl(v,w)|v=lnF/G,w=lnFG

=yn1x1,…,nlxl(v,v+q)|v=lnF/G,q=2lnG

Y(n1-r1)x1,…,(nl-rl)xl(v),

(6)

注意:

这意味着一个Bell多项式yn1x1,…,nlxl(v,w)可以通过Hopf-Cole变换v=lnψ(即ψ=F/G)进行线性化.

1.2 双线性表达式

为了能够得出方程(1)的双线性形式,首先引入一个变量q,使得:

u=cqx+φ(y)

(7)

在这里c=c(t)是关于变量t的任意函数.将(7)代入(1),则可得如下形式:

+4(qxyq3x+4φ(y))q3x+αq3x=0

(8)

其中φ(y)′=φ(y),再对x积分一次得:

(9)

(10)

(11)

因此,(10)化为:

(12)

由定义(3),(11)与(12)就可以写成如下P-多项式的形式:

P4x(q)-Pxz(q)=0

(4φ(y)+α)P2x(q)=0

(13)

最后,由于性质(4)如果做变换:

q=2lnG⟺u=cqx+φ(y)=(lnG)x+φ(y)

(14)

则(13)可以化为如下AKNS方程(1)的双线性形式:

(15)

其中φ(y)为任意的函数,这是一个新的双线性方程.

1.3 Bäcklund变换,孤子解与Lax对

设q与q′为(12)的两个不同的解

q=2lnF,q′=2lnG

(16)

类似,引入两个新变量:

(17)

考虑如下二分离条件:

E(q′)-E(q)=E(v+w)-E(w-v)

=8vxt+2v3x,y+4w2xvx,y+4wx,yv2x+

R(v,w)=0

(18)

其中:

R(v,w)=2w2xvxy-2w3xvy-4w2x,yvx-4vxv2xvy-

很显然,(18)是方程(12)的两个不同的解q和q′之间的关系.这二分离条件可以被认为是在一个附加的约束条件下转化为Bäcklund变换.

为了能够使R(v,w)化为含有对x偏导的y-多项式,则需要取一个特定约束为:

(19)

其中λ为任意常数,则在约束条件(19)下,R(v,w)可以化为如下形式:

R(v,w)=2w2xvxy-2w3xvy-4w2x,yvx-

(20)

在此我们应用了如下关系:

结合(18)～(20),我们得到一个含y-多项式的组合:

y2x(v,w)-λ=0,

∂x[4yt(v)+y2x,y(v,w)+(4φ(y)+α)yx(v)+

3λyy(v)]=0

(21)

对第二个方程中得变量x积分一次,有性质(3),得到了方程(15)的双线性Bäcklund变换:

(22)

通过此BT,我们可以很容易的求出其孤子解.接下来我们以一孤子解与二孤子解为例.

(23)

(24)

这对应着方程(1)的一孤子解,其一孤子解为:

(25)

其中φ(y)′=φ(y)

如果取φ(y)=ly,则其一孤子解为:

(26)

这与[10]中的(33)式取得结果一致.

(27)

其中:

令:

G2=1+eη1+eη2+eη1+η2+A12

(28)

这与二孤子解对应:

u=ln[1+eη1+eη2+eη1+η2+A12]xφ(y)

(29)

为了能够描述函数φ(y)对AKNS方程的波动传播所造成的影响,我们以一孤子解与二孤子解为例,图1与2中函数φ(y)分别取:φ(y)=sin(y),sech(y),tanh(y).

图1 一孤子解在(x,y)轴上分别取参数:(a)t=1,k=0.3,φ(y)=sin(y),(b)t=2,k=0.3,φ(y)=sech(y), (c)t=2,k=0.3,φ(y)=tanh(y)Fig.1 Selection of the parameters in the axis of x and y for onesoliton solution, where (a)t=1,k=0.3,φ(y)=sin(y), (b)t=2,k=0.3, φ(y)=sech(y), (c)t=2,k=0.3,φ(y)=tanh(y)

图2 二孤子解在(x,y)轴上分别取参数:(a)t=1,k1=-0.5,k2=0.2,φ(y)=sin(y), (b)t=2,k1=-0.5,k2=0.2,φ(y)=sech(y), (c)t=2,k1=-0.5,k2=0.2,φ(y)=tanh(y)Fig.2 Selection of the parameters in the axis of x and y for twosoliton solution, where (a)t=1,k1=-0.5,k2=0.2, φ(y)=sin(y), (b)t=2, k1=-0.5,k2=0.2, φ(y)=sech(y),(c)t=2, k1=-0.5,k2=0.2, φ(y)=tanh(y)

由Hopf-Cole变换v=lnψ

(30)

参照(30),则(21)可以化为一组Lax表示:

Lψ=0

Mψ=0

(31)

其中:

(32)

Lψ=ψxx+(2ux-λ)ψ=0

Mψ=4ψt+(4uy+α)ψx+(2ux+3λ)ψy+ψxxx=0

(33)

很容易验证其相容性条件:

[L,M]=4uxt+uxxxy+8uxyux+4uyuxx+αuxx=0

(34)

此即为AKNS方程(1).

2 结论

本文应Bell多项式方法,研究了一类(2+1)维AKNS方程的可积性问题:通过引入变换得出AKNS方程的双线性表达式以及Bäcklund变换,同时得出其孤子解,且用图描绘出不同函数的孤子解,说明AKNS方程在不同函数的作用下其具有不同形式的形状.最后给出其Lax对,通过Lax对可以推导出方程,从而证明了AKNS方程的可积性.

1Hirota R. The direct methods in soliton theory. Berlin:Springer, 2004

2Wang M L, Wang Y M. A new Bäcklund transformation and multi-soliton solutions to the KdV equation with general variable coefficients.PhysicsLettersA, 2001,287(3-4):211～216

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6杨绍杰,化存才. 含外力项时变系数KdV方程与时变系数耦合KdV方程组的孤子解. 动力学与控制学报, 2014,12(6):115～118 (Yang S J, Hua C C. Solition of KdV equation and a coupled KdV equation with time dependent coefficients and forcing term.JournalofDynamicsandControl, 2014,12(6):115～118 (in Chinese))

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8Bell E T. Exponential polynomials.AnnalsMathematics, 1934(35):258～227

9Ozer T. New traveling wave solutions to AKNS and SKdV equations.ChaosSolitonsandFractals, 2009,42:577～583

10 Wazwaz A M. N-soliton solutions for shallow water waves equations in (1+1) and (2+1) dimensions.AppiedlMathematicsComputation, 2011(217):8840～8845