韦淞瀚 卢文秀

(清华大学 机械工程系, 北京 100084)

引言

在旋转机械的飞速运转过程中,剧烈的振动会降低机械的工作性能、减少机械寿命,还会产生安全隐患.松动故障会降低系统的抗振能力,严重时还会引起转子和定子的碰撞,使机器部件产生故障.

松动故障主要有支架松动和旋转部件松动.盘轴系统中盘与轴的配合松动就是旋转部件松动的一种.目前的文献中松动故障的研究主要是关于支架松动的.陈恩利[1]等人针对一端支座松动的滚动轴承-转子系统,通过分叉图、庞加莱图、相图和关联维数等显示了转子系统随转速变化和松动间隙的扩展会出现复杂动力学现象.李宏坤[2]等人研究了非线性刚度转子系统的支承松动故障问题,建立了非线性刚度转子-滑动轴承系统松动的模型.

而目前能找到的对于盘轴系统接触配合的有关的研究不多,对于其松动的机理的研究更是非常的少. Behzad[3,4]在他的研究中提出了一个盘轴系统的模型.模型中运用了一个几何约束:盘在轴的坐标系下做一个给定的圆轨迹的运动.在这个几何约束下,只能研究在给定的轴转速和给定的盘转速下的振动.但实际过程中盘的转速是不能给定的,而且盘在轴的坐标系下的运动也不一定是一个圆,所以本文采用一个新的模型对盘轴系统进行研究,模型考虑盘与轴的相互接触,可以研究出盘的转速变化.

1 盘轴转子系统动力学模型

本文采用集中质量的转子模型.模型分别考虑盘的运动和轴的运动,对盘的中心和轴的中心分别列出水平x,竖直y方向的振动方程,再考虑它们之间在振动过程中产生的相互作用力.其中盘与轴之间可能会出现松动而导致速度差,所以对于盘的转动,列了转角方向的振动方程.

盘轴系统的示意图如图1所示.

图1 盘轴系统示意图Fig.1 Schematic of the rotor-bearing system

(1)

对于圆盘振动,设其质量为md,偏心距为u,质心(xc,yc)与形心(xd,yd)有如下关系:

xc=xd+ucos(θ)

yc=yd+usin(θ)

对上式求两次导得:

圆盘振动方程中,除掉轴的相互作用力Fx,Fy外,只受到外部空气的作用力,设外部阻尼为cd,刚度为0.所以盘的振动方程为:

(2)

盘的转动,其受到阻尼力距、轴与盘接触给盘传递的切向力矩、盘的重力矩.可以得到转动振动方程为[6]:

(3)

其中f是由接触应力提供的平均切向应力,A是接触面积,R为轴的半径,约等于盘的内半径.

盘与轴的相互作用力,考虑为盘与轴接触碰撞产生的法向力与切向力,如图2所示.

图2 盘受到的法向力和切向力示意图Fig.2 Schematic of the normal and tangential forces on the dish

(4)

接触的法向力Fn1,Fn2,和法向接触应力P1,P2,不考虑材料的塑性,假设接触挤压在线弹性的范围内,采用线性刚度的假设.受压部分的力随着偏距r线性增加,受松部分的力随之线性减少,但受松部分的力降到0之后即此时产生间隙,就不会继续下降.由于有过盈量的存在,偏距为0时也有力,其方程表达如下:

(5)

其中P0,F0为初始应力、法向力,k1,k2,k3,k4为不同的接触刚度系数,与具体模型参数有关.

(6)

同理对于受松部分有如下方程:

(7)

2 振动响应分析

由于模型的接触刚度、接触应力依赖于模型的具体尺寸,所以先选取模型的系统参数才能确定系统的接触应力变化.模型的系统参数如下:

轴的长度0.794m,轴的半径R=0.025m,等效质量ms=7.7165kg,偏心距e=0.00001m,刚度为ks=5.89×166N/m,轴阻尼cs=2500.盘的外半径0.1m,初始内半径R0=0.024985m,初始过盈量2(R-R0)=30μm,厚b=0.01m,盘与轴的接触面积A=2πRb=1.57×10-3m2,盘的质量为md=2.315kg,阻尼cd=5000,偏心距u=0.0002m,转动惯量J=0.011575kg×m2,盘的转动阻尼cθ=0.2,摩擦系数μ=0.12.

Fn,P可以通过有限元仿真软件ABAQUS来进行仿真计算.接触压力P受到转动离心效应的影响,转盘的离心效应会使盘轴的接触应力减小,这不仅跟转速有关,而且也跟模型的具体尺寸有关[8],越大越高速的盘轴系统,其转动的离心效果对接触应力的影响越大.除此之外其还与上面提到与盘轴中心偏距r有关,在此本文仅考虑这两种作用的线性叠加,还没考虑到它们的耦合效果.用ABAQUS仿真离心效应对接触应力的影响可参考文献[9],在本模型中可仿真得:

P0=5.44×107-32ω2

同样对于它与盘轴中心偏距r的关系也可以通过仿真得到:仿真得到P-r,Fn-r相应数据点,如图3所示.

图3 有限元仿真结果Fig.3 Resultsof finite element simulation

图3中的接触应力经过线性化拟合得到分段线性的曲线.结果如下:

P1=P0+3.02×1012r

对于法向力,从仿真结果也可得到受压部分和受松部分的接触刚度,但图3中的力是法向合力.通过仿真结果可以观察到在偏距r等于半径过盈量附近法向力出现转折,受松部分的法向力Fn2降为0,由此假设可得两个部分法向力表达式,最后结果为:

Fn1=34275+1.983×109r

上述为所有的系统参数,将其代入运动方程,可用4阶龙格库塔方法进行求解,得到在不同的转轴输入转速ω(即轴的转速)下,转盘的振动情况.

通过数值仿真,可以发现盘轴系统的振动特性会与积分的初始条件有关,为了仿真转子系统经过加速直到指定速度的过程,尝试模拟从0加载速度,把速度分成几段,每次增加一个小量Δω=31.4rad/s,迭代两个周期,把周期迭代的最后值当做下次迭代的初始值.得到输入转速逐渐增加过程中松动盘的转速变化如图4所示.

图4 输入转速逐渐增加过程中松动盘的转速变化Fig.4 Time history of rotational speed of disk during the increase of input speed

由图4中看出松动盘的转速在转速大约为730rad/s附近忽然发生一个速度的下降,也就是在这个地方出现振动的发散,此时盘心的运动轨迹如图5所示.

图5 发散前和发散时输入转速增加Δω后盘心的运动轨迹Fig.5 Orbits of the disk for the increment of rotation speeds Δω

在到达发散转速前,某个输入转速下盘心的运动轨迹是一个圆,转速有一个忽然的增加量Δω后,盘心运动经过一个小的波动,然后再进入到下一个半径稍稍变大的圆.而在达到发散的转速后,忽然的增加量Δω使盘心运动产生不收敛的波动,然后盘心的运动开始发散.

图6为通过进一步仿真得到的输入转速从一个初始转速逐步减速的过程中松动盘的转速变化.

图6 输入转速逐渐减小过程中松动盘的转速变化Fig.6 Time history of rotational speed of disk during the decrease of import speed

从图6中可以发现松动盘转速下降到450rad/s附近忽然上升,表明转盘由之前的超过发散转速后的振动状态又回归到发散转速前的振动状态.输入转速下降过程中的突变点与输入转速上升过程中的突变点是不同的,表明了这个模型的解跟数值积分的初始条件有关.发散前和发散后两种不同输入转速下的振动情况如图7和图8.在输入转速ω=6000r/min=628.3rad/s时,转盘的振动如图7所示.

此时盘的运动是一个波动很小的振动,盘心轨迹为一个圆.在输入转速ω=7800r/min=816.8rad/s时,转盘的振动如图8所示.

图8显示转盘的振动轨迹出现了明显的跳动,盘心运动轨迹十分混乱,功率谱上出现两条峰值,盘的转速与轴的转速(输入转速)出现了明显的固定的差值.盘与轴转速的不同,盘的不平衡力与轴的不平衡力为系统输入不同频率的振动,分别为816.8/2π=130Hz、747/2π=118Hz,在功率谱上可以看出,盘的振动为这两种频率的振动的叠加.对于转盘运动发散的情况可以在盘轴偏距r的变化曲线上看出,在发散前的盘轴偏距很小,一直在10-7数量级以下,说明此时盘心与轴心的相对距离很小,可以认为它们是在一起运动.在发散后盘轴的偏距一直增大,而且偏距的加速度也增大；但当盘轴偏距进入接触应力的第二的线性阶段(受松部分的力在降到0以后不会再线性下降,此为第二线性阶段,之前为第一线性阶段)后,盘轴的偏距变化又变得平缓最后趋向于收敛,此时盘轴偏距很大,有可能会使接触进入塑性变形阶段以至于产生其他可能的后果,而且进入第二线性阶段表明受松一侧没有受到压力,此部分出现间隙,即松动产生.

图7 输入转速ω=628.3rad/s时转盘的振动特性Fig.7 Vibration response of disk at ω=628.3rad/s

3 结论

本文通过对转盘、转轴分别建模,并考虑其相对作用力的具体形式,建立了的盘轴系统的振动模型.发现了在转轴的某个输入转速下,盘轴系统的振动会出现在接触力的第一个线性阶段发生发散,然后到第二个线性阶段才收敛的情况,即为松动产生.在出现了松动后,盘的转速会与轴的输入转速产生速度差,于是盘的振动会出现不同频率的振动的叠加现象.结果表明,在盘轴系统松动产生后,系统的振动特性会有明显的不同,而且是由一个振动状态不稳定地变化到另一个振动状态.

1陈恩利,何田,郑猛等. 滚动轴承-转子系统支承松动时的复杂运动研究. 动力学与控制学报, 2004,2(4):49～55 (Chen E L, He T, Zheng M, et al. Study on complicated motion of roll element bearing-rotor system with pedestal looseness.JournalofDynamicsandControl, 2004,2(4):49～55 (in Chinese))

2李宏坤,赵利华,练晓婷. 非线性刚度转子-轴承支承松动故障的特征分析. 动力学与控制学报, 2011,9(3):233～237 (Li H K, Zhao L H, Lian X T. Characteristics analysis on nonlinear rigid rotor-bearing system with pedestal looseness fault.JournalofDynamicsandControl, 2011,9(3):233～237 (in Chinese))

3Behzad M, Asayesh M. Vibration analysis of rotating shaft with loose disk.InternationalJournalofEngineeringTransactionsBApplications, 2002,15(4):385～393

4Behzad M, Asayesh M. Numerical and experimental investigation of the vibration of rotors with loose discs.JournalofMechanicalEngineeringScience. 2010,224(224)

5张义民. 机械振动. 北京:清华大学出版社, 2007:17～18 (Zhang Y M. Mechanical vibration. Beijing:Tsinghua University Press, 2007:17～18 (in Chinese))

6Lu W X , Chu F L. Radial and torsional vibration characteristics of a rub rotor.NonlinearDynamics, 2014,76(1):529～549

7姜广政. 转子碰摩与裂纹故障振动特性研究[硕士学位论文]. 南京:东南大学, 2014 (Jiang G Z. Research on the vibration characteristics considering friction and crack for rotor system[Master Thesis]. Nanjing:Southeast University, 2014 (in Chinese))

8马平,张伯霖,李锻能. 高速机床电主轴过盈配合量的计算. 组合机床与自动化加工技术, 1999(7) (Ma P, Zhang B L, Li D N. Calculation of the interference fit for the electro-spindle of high speed machine tool.ModularMachineTool&AutomaticManufacturingTechnique, 1999(7) (in Chinese))

9孙清超,吴君良,钟星等. 基于ABAQUS的离心式压缩机转子接触应力分析. 机械设计与制造, 2013(5) (Sun Q C, Wu J L, Zhong X, et al. Contact stress of centrifugal compressor rotor based on ABAQUS.MachineryDesign&Manufacture, 2013(5) (in Chinese))

10 尚志勇,张小龙,江俊. 转子与定子碰摩的反向涡动失稳响应分析. 全国非线性动力学和运动稳定性学术会议, 2009 (Shang Z Y, Zhang X L, Jiang J. Analysis on the response of back whirl in rotor/stator systems. In: National Academic Conference on Nonlinear Dynamics and Motion Stability, 2009 (in Chinese))