曲婧佳, 杨双羚, 冯 雪

(1.空军航空大学 基础部， 吉林 长春 130022;2.吉林建筑大学城建学院, 吉林 长春 130114)

0 引 言

为了研究理想不可压缩的重质流体在平底上的无涡旋平稳运动,Karabut考虑了如下边值问题的解[1-3]:

(1)

设式(1)具有如下形式的解：

W=θ2W1(χ)+θ4W2(χ)+θ6W3(χ)+…

这种形式的解对应了浅水扩张现象。进一步假设Wj(χ)是关于cosh-2(χ/2)的多项式函数,并记ζ=eχ。那么,上式可改写为：

W=E1(θ)ζ+E2(θ)ζ2+E3(θ)ζ3+…

这种序列由Witting在文献[4]中提出,同时,他也给出了系数Ej的递推公式。Karabut证明：对于θ=mπ/n(m,n∈Ζ)，Witting序列的精确求解等价于求解一组n元一阶微分方程组。具体引入函数

Pj(χ)=W(ζω2j-2)

ω=eiθ,j=1,2,…，n

满足方程组:

(2)

因此,为了求解边值问题(1)具有Witting序列形式的解,我们只需要解积分方程组(2)，并取W=P1。

Karabut在文献[1，3]分别证明了系统(2)在θ=π/3,θ=π/4是可积的, 并给出了Witting序列的精确表达式。文献[5]研究了该系统的非哈密顿意义下的可积性。这里用不同的方法研究该系统亚纯首次积分的最大个数问题。文中主要考虑θ=π/5的情形。记

则系统(2)可以改写成关于变量fj的标准形式的常微分方程组:

做时间尺度变换

并记yi:=fi,则Karabut等价于如下系统:

(3)

式中,“·”表示对时间t的求导。

数值模拟显示,Karabut系统(3)具有复杂的动力学行为。文中将从不可积性的角度去认识该系统的拓扑结构。如果该系统有(n-1)个函数独立的首次积分,一般我们称一个微分动力系统是完全可积的。

1 主要结果及证明

定理1Karabut系统(3)至多有三个函数独立的亚纯首次积分。

定理2Karabut 系统(3)不是亚纯完全可积的。

通过分析系统(3)沿某个非平衡特解的变分方程的Galois群的性质,去证明该系统至多只有三个函数独立的首次积分。……