张淑波

纵观近几年的各地模拟卷和中考卷，考查最值问题表现形式灵活，学生们对最值问题的数学题颇感困惑，失分率也相当得高，针对这一现象，本文对初中数学的最值问题进行归纳，以便学生们对症下药，药到病除，现归纳如下，与大家一起分享。

一、应用“将军饮马”模型

此类问题通常求两边和及两边差得绝对值的最值，转化为两点之间线段最短，常见考法有：与坐标系结合；与圆结合利用垂径定理；利用菱形的对角线性质等。

例1 如图MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为 .

解析 作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点。

此时PA+PB最小，且等于AC的长

连接OA，OC，根据题意得：

∵∠AMN=30°，

∴弧AN的度数是60°，

∵B为AN弧的中点，

∴弧BN的度数是30°，

∵NO⊥BC，

∴=，

∴弧CN的度数是30°，

∴=+=90°

∴∠AOC=90°，

又∵OA=OC=1，

∴AC==

√

2

即PA+PB的最小值为：

√

2

点评 首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算。

二、应用转化思想，转化为垂线段最短模型

这类问题看似考某条线段的最值，实际上利用转化思想变为直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短，常见考法有：利用矩形对角线相等性质把其中一条对角线转化；在圆中求某条线段利用勾股定理或其他等量关系转化等。

例2 如图 在Rt△ABO中，∠AOB=90°，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是 .

解析 连接OP、OQ，如图所示，

∵PQ是⊙O的切线，

∴OQ⊥PQ，

根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，

∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，

∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，

∴AB==4

√

2

，

∴OP==2

√

2

，

∴PQ===

√

7

点评 连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到OQ与PQ垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值。

三、应用构圆模型

这类问题看似无圆却有圆，利用这个动点的运动轨迹形成一个圆从而达到求最值，常见考法有：这个动点为顶点的角是定角，这个定角所对的边是定边即定角对定边。

例3 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=4

√

2

，點D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 .

解析 连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=2

√

5

，从而得到CE的最小值为2

√

5

-2.

点评 本题考查了圆的综合题，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质，会利用勾股定理计算线段的长.解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题。

四、应用函数模型

这类问题看似几何却是利用函数的性质求最值，常见考法：在几何题中根据边之间的数量关系利用方程思想列出两个变量之间的函数关系等。

例5 如图，已知平面直角坐标系内，A（-1，0），B（3，0），点D是线段AB上任意一点（点D不与A，B重合），过点D作AB的垂线l.点C是l上一点，且∠ACB是锐角，连结AC、BC，作AE⊥BC于点E，交CD于点H，连结BH，设△ABC面积为S1，△ABH面积为S2，则S1·S2的最大值是 .

解析 设AD=X BD=4-X，

易得△ADH～△CDB

∴

AD

CD

=

DH

DB

即CD·DH=X（4-X）

S1·S2=4CD·DH

=4X（4-X）

=-4X2+16X

当X=2时，S1·S2最大值为16

点评 根据相似找出两个变量之间的等量关系从而构建二次函数模型，利用二次函数的性质求出最值问题。