王小峰

【摘要】本文主要结合教学实例介绍了在高中数学教学过程中经常遇到的几种数学思想和方法以及其对学生的学习所起到的重要影响.

【关键词】高中数学；分类讨论；函数与方程；数形结合

数学思想和方法是进行一切数学活动的基础，不论是教师的教学还是学生的学习只要和数学知识相关都会有所涉及，它是人们从长期的数学研究、教学以及学习经验中总结出来的精髓，同时是我们教师所要实现的最高级教学目标.在传统教学过程中，大部分教师认为只要让学生们学会教材当中的基础知识，并且能够在考试当中正确解答问题，取得较为满意的成绩，就算是完成了教学目标和任务，然而，随着社会的发展，人们接触到了西方更多的教育方法和理念，在初、高中阶段利用一定的教学手段向学生们普及数学思想和方法越来越受到有关部门和广大教育工作者的关注.

一、数学思想和方法在高中教学中的重要意义

首先，数学思想和方法能够进一步帮助学生理解数学概念和定义.在实际教学过程中，因为数学内容较为抽象的特性，所以一些概念或者结论的描述性语言大都非常拗口，这就使得那些逻辑能力较差的学生不能透彻地进行理解.如，在学习“集合”这部分内容时，有些学生不能理解“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.”笔者就应用转化与化归思想当中的直观化、简单化原则，将这一结论转化为最基本的问题.分别从空集、子集、真子集的概念入手，让学生逐个理解，再运用常用的集合表示方法，将描述性语言转化成直观的数学符号：A，A（A≠），这样一来，相对于拗口的文字语言学生更容易接受和理解用符号直接表示出来的结论.

其次，数学思想和方法能够有效帮助学生解决做题过程中遇到的各类问题.考试是检测学生近期学习情况最有效、最快速的方法，通过这些测验我们教师可以发现学生在学习过程中没有掌握透彻的知识点，进而做出有针对性的指导.然而，在实际解题过程中，学生们只掌握书本上的基础知识还远远不够，他们还需要对于一些特殊的题目应用对应的数学思想或者方法才能找到解题的思路，进而得出问题的正确答案.从另一方面来说，当学生没有建立数学思想的意识时，他们的答题过程就会受到阻碍，正确率也一直难以提高，在处理一些数学难题时更是经常找不到解题思路和方向，这就导致虽然学生在平时的学习过程中非常努力，但是他们的考试成绩却随着数学知识学习的深入出现不升反降的反常情况.由此可见，教师有目的性地对学生进行数学思想和方法的教学能够帮助他们建立题类、题型的概念，当在考试过程中遇到相类似的问题时，他们就能够快速、有效地进行解决.

二、高中数学教学过程中常用的思想和方法

（一）分类讨论的思想

在解决一些数学问题时，根据题干当中的一些条件并不能得出确切的结果，还需要对“不确定量”可能存在的情况进行分类，将一个问题划分为两个甚至更多的小问题来解决，通过对它们进行逐个计算、讨论，然后再根据题目的具体问题整合出最终的正确答案，这就是分类讨論思想在数学当中的具体应用过程.

根据多年的数学教学经验，笔者发现并总结出分类讨论思想在实际应用时所遵循的一些规律，其主要体现在根据题干给定的已知条件确定具体的研究“对象”，也就是上文当中提到的需要进行讨论的不确定量.例如，在教学过程中遇到的“分段函数”，刚开始由于思维定式的影响，总有一部分学生认为函数只能用一个等式表达，不能理解为什么要进行分段；还有很多学生不知道什么时候需要进行分段讨论，这就使得他们在解答相关题目时思路不清晰、明确，总是出现各种错误.出现此种情况主要是因为学生没有建立分类讨论的思想，对它的应用情况并不熟悉，另外，学生对函数的概念理解得还不够充分.因此，笔者专门抽出数学课堂的一部分时间针对“分段函数”的分类讨论情况给学生们进行了详细的讲解，笔者问：“你们仔细观察曾经遇到过的分段函数，我们都是根据什么进行分类讨论的呢？有什么共同的特点吗？”学生答：“都是用定义域来划分的.”笔者再问：“通过观察函数的图像，能否得出y值和x值的唯一对应关系呢？如果我们只使用一个等式能表达出两者之间的变化关系吗？”学生进行了短暂思考，回答：“x和y都是一一对应的，只有按定义域分段，才能表示出各部分的变化规律.”经过上述的引导过程，学生不但从根本上理解和掌握了“分段函数”的概念，而且对分类讨论思想也有了清晰的认识和了解.

（二）函数与方程的思想

函数与方程思想的使用非常广泛，学生在处理一些现实类应用题目或者需要表示一个事物随另一事物的变化关系时，需要将这些信息进行提炼、整合转化为可计算且具有一定含义的函数或者方程，继而再运用数学知识解决问题.

例如，在讲解“函数”这部分知识时，为了让学生们建立函数与方程的思想，认识到两者之间的相互转化关系，笔者按下述教学过程对他们进行了引导.笔者先在黑板上随意写出了一个函数y=2x+1，然后，问学生：“当y的值分别等于0，1时，我们怎样计算x的值呢？”学生们感觉这个问题非常简单，答：“将y值分别代入函数式中就能够计算出x的值.”笔者说：“非常正确！但在这个过程中我们需要通过分别计算方程式2x+1=0以及2x+1=1才能够得出结果，在这里我们应用了数学当中一个常见的思想进行了转化，你们知道是什么吗？”学生答：“函数与方程的思想，这里将求解普通函数自变量的过程转化为方程的形式进行计算.”笔者又问：“根据已经学过的知识你们能够列举出一些需要运用函数与方程的思想来解决问题的例子吗？”有学生答：“在解方程的时候，经常会遇到含有未知参数的情况，这时我们可以将其转化为函数关系来帮助我们解决问题.”……

（三）数形结合的思想

学生在解决一些数学问题时，如果只用代数计算或者几何关系并不能得出结果，还需要他们应用数形结合的思想，在单纯“数”或者“形”的问题上寻找两者之间的关联关系.这样一来，不但能够将烦琐、复杂的数学问题简单化，进而帮助学生提高答题效率，而且能够让他们深刻地认识到“数”和“形”之间不可分割的密切联系，有效锻炼其自身的逻辑思维以及形象思维.

例如，函数与其图像之间的关系就是数形结合思想的典型应用，在讲解这部分内容时，教师不能只让学生掌握书本当中的基础知识，还要帮助他们建立“数”与“形”相互结合的思想.笔者告诉学生们：“函数是用‘数来表达各个变量之间的相互关系，而图像同样能够用‘形直观地进行表示，在做一些题目时，如果我们不能单纯地通过函数式的计算或者图像中的位置关系得出答案，就需要考虑运用数形结合的思想，通过建立两者之间的联系来帮助我们解决问题.”这时，有学生答：“在处理几何问题时，我们先通过图像能够了解各几何形状间的位置关系，然后再利用题干当中给出的数值进行计算，这种同样是运用了数形结合的思想.”还有学生直接列举了实例：“比如，函数y=ax+1，当a值不确定时，函数的单调性就不能确定，这时如果题干当中给出这个函数的图像，我们就能够直接观察出它在定义域内的增、减情况，并且还能确定a值的正、负.”

（四）或然与必然的思想

在讲解“概率”这部分内容时，需要让学生建立或然与必然的思想，让他们知道随机事件的结果具有随机性，没有什么规律可遵循，但事件发展的频率总是趋向于稳定的，也就是必然和或然在概率事件中总是同时存在、相生相依的.这样能够帮助学生从深层次上理解“概率”和“期望”的概念，因为事件的结果总是或然、随机的，所以概率指的是某一事件相对于其他可能情况发生概率的大小，是用“必然”的方法去解决“或然”的问题；而期望表示的是随机事件发展的频率总是朝着一个平均、稳定的数值无限接近，是从“或然”中寻找“必然”的关系.

三、总 结

在高中数学教学过程中遇到的思想和方法还有很多，教师要在给学生们讲解基础知识的同时向他们普及当中所暗含的思想，这样做的好处一是能够锻炼学生的分析、概括能力，开阔他们的数学思维；二是能够逐渐培养学生透过基本的现象去认识、理解事物本质的能力，改变他们以往对数学学科的认知；三是能够帮助学生建立科学、正确的数学观.

【参考文献】

[1]王晓娟.高中数学思想中的数形结合[J].中华少年：研究青少年教育，2011（12）：392-393.

[2]董晓萍.高中数学思想方法在教学中的有效应用例谈[J].新课程研究旬刊，2013（1）：136-137.