王 琪

(贵阳学院数学与信息科学学院， 贵州 贵阳 550005)

0 引言

2004年， Alencar等[1]研究球面空间Sn+1中常高阶平均曲率的紧致无边超曲面， 建立起一类积分公式， 并通过这些公式， 利用高斯映像来刻画超曲面的全脐性质得到了定理1. 文献[2]研究欧氏空间Rn+1中以低维球面为边界, 具有常数高阶平均曲率的紧致超曲面. 其建立了相应的积分公式， 同时利用高斯映照的一种条件， 讨论超曲面的性质， 得到了定理2. 本研究讨论欧氏空间Rn+1紧致无边超曲面, 通过一个已知的积分公式， 并采用一种新的“分割”技巧， 利用高斯映照来刻画超曲面的性质， 得到了一个新的定理， 即以下定理3.

1 预备知识

设n维黎曼流形M等距浸入到一个(n+1)维黎曼流形中， 并设λi(1≤i≤n)是M的主曲率函数， 则M第r阶高阶平均曲率Hr有以下定义[1-4]:

同时定义H0≡1.

当M可定向时，M具有整体的单位法向量场N. 记Sn是n维标准单位球面， 则M的Gauss映照定义为

φ:M→Sn，φ(p)=N(p) (∀p∈M)

需要使用一个积分公式， 即下列引理1.

引理1[4]设M是Rn+1中紧致无边定向超曲面. 用x表示M在Rn+1中的位置向量，N表示M的光滑单位法向量场. 则以下积分公式成立

其中： 〈, 〉表示Rn+1的欧氏内积， dx表示黎曼流形M的n维黎曼体积元.

2 主要结果

定理1[1]设M是单位球面Sn+1空间中紧致无边超曲面. 假设M的某一个高阶平均曲率Hr(1≤r≤n-1)是正常数， 同时下列不等式处处成立

Hr-1≥0，H1Hr-1≥Hr>0

如果M的高斯映照像落在一个闭的半球面内， 则M是全脐的.

定理2[2]设M是Rn+1中定向紧致带边界超曲面， 且假设M的某个高阶平均曲率Hr(2≤r≤n)是常数， 同时M⊂π的边界为圆球面Sn-1. 如果M的高斯映照……