林少杰, 朱玉灿

(福州大学数学与计算机科学学院, 福建 福州 350116)

0 引言

1 预备知识

本研究采用如下记号:H为一个复的Hilbert空间，L(H)表示H到H的有界线性算子的集合，J是整数集合的子集,πW表示H到闭子空间W的正交投影.

定义1设{Wj}j∈J是H的一个闭子空间序列, 且vj>0,j∈J. 如果存在正数A、B使得对任意f∈H, 有

则称{(Wj,vj)}j∈J是H的fusion框架,A、B分别称为fusion框架下界、 上界.

设V与W为Hilbert空间的闭子空间, 记子空间V和W的间隙为

特别地, 当V⊂W时, 有δ(V,W)=0，δ(V,W)的一些性质见文献[9].

为了证明本研究的主要结论， 先给出几个引理.

引理2设M、L为H中的两个闭子空间,πM表示H到M的正交投影且πM(H)=M, 则下列两个条件等价:

2)M⊂L.

因此1)成立.

引理4[10]设P1、P2是H上的正交投影, 则当且仅当P1和P2可交换, 即P1P2=P2P1时P=P1P2是H上的正交投影.

2 主要结论与证明

证明 由于T为满的, 则存在伪逆算子T+满足TT+f=f,f∈T(H)=H， 即TT+=I, 因此

(T+)*T*=(TT+)*=I*=I

(1)

(2)

因为{(Wj,vj)}j∈J为H的fusion框架, fusion框架界为A、B, 则对于T*f∈H, 有

由式子(1), 对∀f∈H有

所以

从而由式子(2)得到： 对∀f∈H有

(3)

又{(Wj,vj)}j∈J是H的fusion框架， fusion框架界为A、B， 则有

(4)

下面给出例子说明满足定理1条件的有界线性算子T是存在的, 但是T不满足T+TWj⊂Wj(j=1, 2, …).

证明 根据定理1的证明可知只要证明上界即可. 由引理3得到:

从而

同理有

所以T为满的有界线性算子.

所以对任意f∈H, 有

同理可得：

对∀f,g∈H, 有

又πWjf=〈f,e2j〉e2j+〈f,e2j-1〉e2j-1, 直接计算得

因此， 对任意f∈H， 有

参考文献：

[1] CAND`ES E J, DONOHO D L. New tight frames of curvelets and optimal representations of objects with piecewiseC2singularities[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 2004, 57(2): 216-266.

[2] STROHMER T, HEATH R W. Grassmannian frames with applications to coding and communications[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2003, 14(3): 257-275.

[3] CASAZZA P G, KUTYNIOK G. Frames of subspaces[J]. Contemporary Mathematics, 2004, 345: 87-113.

[4] Casazza P G, Kutyniok G, LI S. Fusion frames and distributed processing[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2008, 25(1):114-132.

[5] GAVRUTA P. On the duality of fusion frames[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007, 333(2): 871-879.

[6] ASGARI M S. New characterizations of fusion frames (frames of subspaces)[J]. Indian Academy of Sciences Proceedings Mathematical Sciences, 2009, 119(3): 369-382.

[7] 王靖华， 朱玉灿. fusion框架的若干性质[J]． 福州大学学报(自然科学版)， 2009， 37(1)： 1-5．

[8] LI X B, YANG S Z, ZHU Y C. Some results about operator perturbation of fusion frames in Hilbert spaces[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2015, 421(2): 1417-1427.

[9] KATO T. Perturbation theory for linear operator[M]. New York: Springer-Verlag, 1984.

[10] 克里兹格 E. 泛函分析引论及应用[M]. 张石生, 译. 重庆： 重庆出版社, 1986.