凌波

（云南民族大学数学与计算机科学学院，云南昆明650504）

对有限群结构的刻画研究一直都是代数领域的热门话题[1-7]。本文将开展群的结构对图对称性的影响及其应用研究。

设Γ是一个图。其顶点集，边集，弧集，图的全自同构群分别记为V（Γ），E（Γ），Arc（Γ），Aut（Γ）。我们称图Γ为弧传递图，如果Aut（Γ）在其弧集合上传递。

设G是一个有限群。取S⊆G-｛1｝，称它为G的Cayley子集。设S满足定义群G关于S的Cayley无向图其中：

由定义可知，Γ的度为。Γ连通当且仅当G＝＜S＞。G的右正则表示R（G）≤Aut（Γ）且作用在V（Γ）上正则，即Cayley图是点传递图。为了方便，我们仍记这个正则子群为G。反之，点传递图Γ＝（V，E）同构于群G的 Cayley图当且仅当Aut（Γ）包含一个同构于G的正则子群（可参考文献[8，性质 16.3]）。我们称 Cayley图 Γ＝Cay（G，S）关于G是正规的，如果G◁Aut（Γ），否则称Γ为非正规的。

Cayley图的正规性概念由我国著名代数学家徐明曜教授1998年在文献[9]中提出。单群是构成群的基本元素，具有群的内在特点，单群上Cayely图的正规性问题一直都受到国内外学者们的极大关注。例如，李才恒教授在文献[10]中证明：除了7个例外，所有的有限非交换单群上的3度弧传递Cayley图都是正规的。基于这个工作，徐尚进教授等[11-13]证明：除交错群A47上的两个例外，所有有限非交换单群的连通3度弧传递Cayley图都是正规的。方新贵教授等[14]证明：除单群M11上的两个例外，所有有限非交换单群上的4度2—传递Cayley图都是正规的。对于5度图，周进鑫教授和冯衍全教授2010年在文献[15]中证明：所有非交换单群上的5度1—传递Cayley图都是正规的。作者和娄本功在文献[16]构造了交错群A39上5度2—传递非正规Cayley图的例子。……