刘艳东，张毅

（1.苏州科技大学数理学院，江苏苏州215009；2.苏州科技大学土木工程学院，江苏苏州215011）

经典力学中许多经典的方法只适用于保守系统，对于非保守系统却不适用。为了解决这一问题，1996年Riewe[1-2]将分数阶微积分引入到非保守系统动力学，开启了非保守系统的分数阶建模及其研究。Frederico和 Torres[3-6]首先开展分数阶Noether定理的研究，利用时间重新参数化方法证明了分数阶力学和控制系统的Noether定理。张毅等[7-13]研究了分数阶Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量。近年来，关于对称性与守恒量的研究取得了许多成果[14-19]。但迄今为止，基于Frederico和 Torres定义的分数阶守恒量概念建立的Noether定理仅研究了Noether对称性与守恒量之间的联系，尚未考虑其准对称性。本文将基于Caputo导数用时间重新参数化方法研究分数阶Lagrange系统的Noether准对称性，建立该系统准对称性的定义和判据，给出Frederico-Torres守恒量定义下的分数阶守恒量，并证明该系统的分数阶Noether准对称性定理。

1 分数阶导数及其性质

以下简单介绍文中将用到的分数阶导数的定义及相关性质，具体参见[20-21]。

设函数f（t）在区间[a，b]上连续可积，则Riemann-Liouville分数阶左导数和右导数分别定义为：

其中，Γ（*）是Euler Gamma函数，α是阶数，且0≤α＜1。

设函数f（t）和g（t）是在区间[a，b]上的光滑函数，且f（a）＝f（b）＝0，则Caputo导数下的分数阶分部积分公式为：

2 Caupto导数下分数阶Lagrange方程

设Hamilton作用量为：

其 中qs（s＝1，2，…，n） 为 广 义 坐 标，为系统的 Lagrange函数。

分数阶Hamilton原理可表示为：

带有交换关系：

由分数阶Hamilton原理可直接导出：

方程（16）就是Caputo导数下的分数阶Lagrange方程。由分数阶Lagrange方程描述的动力学系统可称为分数阶Lagrange系统。……